Для связи в whatsapp +905441085890

Показатель степени в математике с примерами решения и образцами выполнения

При введении понятия о степени подразумевалось, что показатель степени — целое положительное число. Все правила действий над степенями были выведены в этом предположении.

В математике наряду со степенями с целыми положительными показателями рассматриваются также и степени с нулевым, отрицательным и дробным показателями. Более того, исследование некоторых вопросов, имеющих очень большое значение, требует рассмотрения степеней с иррациональными показателями.

В этой главе будет введено понятие о степени с любым вещественным показателем и будет показано, что все правила действий над степенями, выведенные для целых положительных показателей, сохраняются и для любых вещественных показателей.

Понятие о степени с нулевым и отрицательным показателем

Определение. Если а ≠ 0, то а⁰ = 1. Нулевая степень числа, отличного от нуля, равна единице.

Например, 2°= 1; (0,75)°= 1; (—√3)° = 1. Выражение 0° смысла не имеет.

Определение:

Если а ≠ 0 и q — целое положительное число, то

Показатель степени

Целая отрицательная степень числа, отличного от нуля, равна единице, деленной на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя. Например,

Показатель степени

Теорема:

При любых целых положительных m и n справедливо правило деления степеней

Показатель степени

Доказательство:

Если m > n, утверждение в доказательстве не нуждается.

Если m = n, справедливость утверждения вытекает из определения нулевого показателя.

Если m < n, справедливость утверждения вытекает из определения целого отрицательного показателя.

Теорема доказана.

Определение нулевого и отрицательного показателей возникло в связи с желанием обобщить установленное ранее правило деления степеней одной и той же величины. Это правило

Показатель степени

было выведено в предположении, что m и n— целые положительные числа и что m > n.

Допустим, что правило деления степеней можно применять и.тогда, когда показатель степени делимого равен показателю степени делителя и когда» показатель степени делимого меньше показателя степени делителя.

Пусть m = n, тогда

Показатель степени

С другой стороны,

Показатель степени

Сравнение результатов (1) и (2) показывает, что a° = 1

Пусть m < n , т. е. n = m + q, где q — положительное число.

Тогда имеем

Показатель степени

С другой стороны, посредством сокращения получаем

Показатель степени

Сравнение результатов (3) и (4) показывает, что целесообразно считать

Показатель степени

где q — целое положительное число.

Рассуждения, которые приведены выше, не являются, конечно,

доказательствами того, что Показатель степениЭти рассуждения проведены только для того, чтобы показать, что принимаемые нами определения нулевого и отрицательного показателя подсказаны нам опытом деления степеней с одним и тем же основанием и единственно возможны, если мы желаем сохранить правило деления степеней для случая, когда показатель степени делимого не превосходит показателя степени-делителя.

Замечание:

Не следует думать, что введением отрицательного показателя дробное выражение Показатель степени превращается в целое Показатель степени. Выражение Показатель степени является лишь другой формой записи выраженияПоказатель степени

Понятие о степени с дробным показателем

Определение:

Если a > 0 и числа m и n натуральные, то

Показатель степени

Пример:

Показатель степени

Определение дробного показателя возникло в связи с желанием обобщить правило извлечения корня на случай, когда показатель подкоренного количества не делится на показатель корня. Правило

Показатель степени

было выведено в предположении, что m и n натуральные и m делится на n. Теперь, это правило можно применять и тогда, когда m и n— любые натуральные числа.

Известно, что рациональная дробь может быть представлена в различных видах. Например, Показатель степени может быть представлена как Показатель степении т. п. Выражение с дробным показателем не зависит oт того, в каком виде представлен показатель. Пусть

Показатель степени

Тогда

Показатель степени

В силу (1) правые части равенств (2) и (3) тождественны. Поэтому

Показатель степени

Определение дробного показателя не распространяется на степени с отрицательными основаниями, так как тогда выражения с дробными показателями не обладали бы столь простым и важным свойством, которое указано.

Пример:

Допустим, что определение дробного показателя распространено на степени с отрицательным основанием. Тогда

Показатель степени

В то же время

Показатель степени

Замечание:

Не следует думать, что введением дробного показателя иррациональное выражение Показатель степенипревращается в рациональное Показатель степени . Если выражение Показатель степени иррациональное, то и выражение Показатель степени тоже иррациональное. Выражение Показатель степени является лишь другой формой записи выражения Показатель степени

Понятие о степени с дробным отрицательным показателем

Определение:

Если а — положительное число, то

Показатель степени

где m и n— любые натуральные числа.

То есть дробная отрицательная степень положительного числа равна единице, деленной на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя. Например,

Показатель степени

Теорема:

При любом целом х

Показатель степени

Доказательство:

Если x > 0 справедливость утверждения вытекает из определения дробного показателя.

Если х = 0, то

Показатель степени

С другой стороны,

Показатель степени

Пусть x < 0. Положим х = — m,m > 0. Имеем :

Показатель степени

Действия над степенями с рациональными показателями

В этом параграфе буквы m, n, р, q обозначают целые положительные числа, буква r, а также r₁— любые рациональные числа.

Теорема:

Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и с показателем, равным сумме показателей.

Короче: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, т. е.

Показатель степени

Доказательство:

Переместительный закон умножения справедлив для любых действительных чисел. При любых рациональных r и r₁ степени Показатель степени—действительные числа, поэтому

Показатель степени

Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть следующие случат

Случай 1. r = 0; r₁ — любое рациональное число. Имеем

Показатель степени

Случай 2.Показатель степениИмеем

Показатель степени

Случай 3. Показатель степениИмеем

Показатель степени

Случай 4. Показатель степени имеем

Показатель степени

На основании доказанного в случае 2

Показатель степени

Значит,

Показатель степени

Методом математической индукции можно показать, что теорема верна для любого количества множителей.

Пример:

Показатель степени

Пример:

Показатель степени

Теорема:

Частное от деления степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и с показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Короче; при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, т. е.

Показатель степени

Доказательство:

На основании правила умножения степеней

Показатель степени

Отсюда по определению деления

Показатель степени

Пример:

Показатель степени

Пример:

Показатель степени

Теорема:

Степень произведения двух чисел равна произведению степеней сомножителей, т. е.

Показатель степени

Доказательство:

Возможны три случая:

Случай 1. r = 0. Имеем

Показатель степени

Следовательно,

Показатель степени

Случай 2. Показатель степени . Имеем

Показатель степени

Случай 3. Показатель степениИмеем

Показатель степени

На основании доказанного в случае 2

Показатель степени

Значит,

Показатель степени

Методом математической индукции можно показать, что теорема верна для любого количества множителей.

Теорема:

Степень дроби равна частному от деления степени числителя с показателем, равным показателю дроби на степень знаменателя с показателем, равным показателю дроби.

Короче: степень дроби равна частному от деления степени числителя на степень знаменателя, т. е.

Показатель степени

Доказательство:

Возможны три случая:

Случай 1. r = 0. Имеем

Показатель степени

Следовательно,

Показатель степени

Случай 2. Показатель степени Имеем

Показатель степени

Случай 3. Показатель степениИмеем

Показатель степени

На основании доказанного в случае 2

Показатель степени

Значит,

Показатель степени

Пример:

Показатель степени

Теорема:

Результат возведения степени в степень равен степени с тем же основанием и с показателем, равным произведению показателей, участвующих в действии.

Короче: при возведении степени в степень показатели перемножаются, т. е.

Показатель степени

Доказательство:

Возможны шесть случаев:

Случай 1. r = 0. Имеем

Показатель степени

Случай 2. r₁=0. Имеем

Показатель степени

Случай 3. r > 0; r₁ > 0. Положим Показатель степениТогда

Показатель степени

Случай 4, r < 0, r₁ > 0. Положим r = — r₂r₂, > 0. Тогда

Показатель степени

На основании теоремы 4 и доказанного в случае 3

Показатель степени

Значит,

Показатель степени

Случай 5. r > 0; r₁ < 0. Положим r₁ = — r₃, r₃, > 0. Тогда

Показатель степени

На основании доказанного в случае 3

Показатель степени

Значит,

Показатель степени

Случай 6. r < 0; r₁ < 0. Положим r = -r₂, r₁ = — r₃, r₂ > 0, r₃ >0. Тогда

Показатель степени

На oсновании доказанного в случае 4

Показатель степени

Значит,

Показатель степени

Следствие. Показатель степени

Пример:

Показатель степени

Из доказанных теорем вытекает, что для степеней с любыми рациональными показателями справедливы следующие правила, которые были ранее установлены для степеней с натуральными показателями:

1) правило умножения степеней;

2) правило деления степеней;

3) правило возведения произведения в степень;

4) правило возведения дроби в степень;

5) правило возведения степени в степень.

Пример:

Вычислить при а = 2,5 и b= 20

Показатель степени

Решение:

Показатель степени

При а = 2,5; b = 20 имеем Показатель степени

Ответ. А = 4

Степень с рациональным показателем

Теорема:

Пусть r рационально, тогда

1) если а > 1 и r > 0, то Показатель степени> 1; .

2) если 0 < a < 1 и r > 0 , то Показатель степени < 1

3) если а > 1 и r < 0, то Показатель степени< 1;

4) если 0 < a < 1 и r < 0, то Показатель степени > 1

Доказательство:

1) Пусть а > 1 и Показатель степени, где m и n— натуральные числа. Тогда

Показатель степени

Так как Показатель степени

2) Пусть а< 1 и Показатель степени . Положим Показатель степени тогда a₁ > 1. Имеем

Показатель степени

так как по доказанному в п. 1) Показатель степени

3) Пусть а > 1 и Показатель степени, тогда

Показатель степени

так как по доказанному в п. 1) Показатель степени

4) Пусть а < 1 и Показатель степени, тогда

Показатель степени

так как Показатель степени < 1 (по доказанному в п; 2).

Теорема:

Если а > 1 и рациональное r больше рационального r₁, то Показатель степениесли же 0 < а < 1, то Показатель степени, т. е. если а > 1 то при возрастании r возрастает и степень Показатель степени, а если 0 < a < 1, то при возрастании r степень Показатель степени убывает.

Доказательство:

Пусть a > 1 и r > r₁ Рассмотрим разность

Показатель степени

Так как Показатель степении, следовательно, Показатель степени, т. е.Показатель степени

Пусть а < 1 и r > r₁. Рассмотрим разность

Показатель степени

Так как Показатель степени

Теорема:

Если c > 0, то последовательность Показатель степениимеет пределом единицу, т. е.

Показатель степени

Доказательство:

Имеем последовательность

Показатель степени

При с = 1 утверждение проверяется легко. Остается рассмотреть два случая: c > 1 и c < 1.

Предположим сначала, что с > 1. Тогда каждый член последовательности (3) больше единицы. Обозначим

Показатель степени

Тогда последовательность (3) может быть переписана так:

Показатель степени

где Показатель степени при любом n.

Пусть теперь n >1 тогда (см. теорему 1 § 9 гл. V)

Показатель степени

Но Показатель степени значит,

Показатель степени

Последнее неравенство показывает, что по любому заданному положительному e можно указать столь большой номер N, что при всех n >N число Показатель степенибудет меньше e. Действительно, чтобы Показатель степени было меньше е, достаточно, чтобыПоказатель степени Таким образом, за N можно принять любое целое число, бoльшее Показатель степениОтсюда вытекает, что Показатель степениа тогда

Показатель степени

Пусть теперь подкоренное выражение c₁ меньше единицы. Положим Показатель степени Тогда последовательность

Показатель степени

примет такой вид:

Показатель степени

или, что все равно,

Показатель степени

Последовательность (4), составленная из знаменателей последовательности (7), как показано, стремится к единице, значит, и последовательность (7) стремится к единице, т. е. опять

Показатель степени

Понятие о степени с иррациональным показателем

Пусть а — какое-нибудь положительное число и а — иррациональное. Какой смысл следует придать выражению Показатель степени?

Чтобы сделать изложение более наглядным, проведем его на частном примере. Именно, положим а = 2 и а = 1,624121121112…. Здесь, а — бесконечная десятичная дробь, составленная по такому закону: начиная с четвертого десятичного знака, для изображения а употребляются только цифры 1 и 2, и при этом количество цифр 1, записываемых подряд перед цифрой 2, все время увеличивается на одну. Дробь а непериодическая, так как иначе количество цифр 1, записываемых подряд в его изображении, было бы ограниченным. Следовательно, а — иррациональное число.

Итак, какой же смысл следует придать выражению

Показатель степени

Чтобы ответить на этот вопрос, составим последовательности значений а с недостатком и избытком с точностью до Показатель степени. Получим

1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)

1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; … (2)

Составим соответствующие последовательности степеней числа 2:

Показатель степени

Последовательность (3) возрастает, так как возрастает последовательность (1) (теорема 2 § 6).

Последовательность (4) убывает, так как убывает последовательность (2).

Каждый член последовательности (3) меньше каждого члена последовательности (4), и, таким образом, последовательность (3) ограничена сверху, а последовательность (4) ограничена снизу.

На основании теоремы о монотонной ограниченной последовательности каждая из последовательностей (3) и (4) имеет предел. Если теперь окажется, что разность последовательностей (4) и (3) сходится к нулю, то из этого будет вытекать, что обе эти последовательности, имеют общий предел.

Разность первых членов последовательностей (3) и (4)

Показатель степени

Разность вторых членов

Показатель степени

Разность n-х членов

Показатель степени

На основании теоремы 3 § 6

Показатель степени

Итак, последовательности (3) и (4) имеют общий предел. Этот предел является единственным вещественным числом, которое больше всех членов последовательности (3) и меньше всех членов последовательности (4), его и целесообразно считать точным значением Показатель степени.

Из сказанного вытекает, что и вообще целесообразно принять следующее определение:

Определение:

Если a > 1 то степенью числа а с иррациональным показателем а называется такое действительное число, которое больше всех степеней этого числа, показатели которых есть рациональные приближения а с недостатком, и меньше всех степеней этого числа, показатели которых — рациональные приближения а с избытком.

Если a < 1 то степенью числа а с иррациональным показателем а называется такое действительное число, которое больше всех степеней этого числа, показатели которых — рациональные приближения а с избытком, и меньше всех степеней этого числа, показатели которых — рациональные приближения а с недостатком.

.Если а= 1, то степенью его с иррациональным показателем а является 1.

Пользуясь понятием предела, это определение можно сформулировать так:

Степенью положительного числа с иррациональным показателем а называется предел, к которому стремится последовательность рациональных степеней этого числа при условии, что последовательность показателей этих степеней стремится к а, т. е.

Показатель степени

Пример:

Вычислить с точностью до 0,1 число Показатель степени, если а= 1,624121121112 … (а то же, что и выше).

Решение:

Для приближенного вычисления Показатель степенизаметим, что

Показатель степени

Далее,

Показатель степени

Таким образом, Показатель степени < 3,09.

Испытанием уходим, что (3,03)⁵ = 255,3954324543 < 256. Поэтому Показатель степени. Выходит, что

Показатель степени

Число Показатель степени вычислено с точностью до: 0,06.

Свойства степени с любым вещественным показателем

Теорема:

1) Если а > 1 и а > 0, то Показатель степени

2) если 0 < а < 1 и а>0, то Показатель степени

3) если а > 1 и а < 0, то Показатель степени

4) если 0 < а < 1 и а<0, то Показатель степени

Доказательство:

1) Это утверждение доказано для случая, когда о рационально (теорема 1 § 6).

Пусть о иррациональное. Рассмотрим последовательность {Показатель степени} десятичных приближений а с недостатком с точностью до Показатель степени. Среди членов этой последовательности должны находиться, и положительные числа, так как если бы Показатель степенипри всех n, то и Показатель степени

Пусть Показатель степени(теорема 1 §6). Но Показатель степени Значит,

Показатель степени

2) Положим Показатель степени, тогда a₁ >. 1. По доказанному Показатель степени, значит,

Показатель степени

3) Пусть а > 1; а < 0. Положим Показатель степени. Рассмотрим

Показатель степени

По доказанному в п. (1) Показатель степениЗначит,

Показатель степени

4) Пусть а<1; а<0. ПоложимПоказатель степени. Тогда

Показатель степени

так как Показатель степени(по доказанному в п. 2).

Теорема:

Если а > 1 и число а больше Показатель степени, то Показатель степени т. е. при а > 1 функция Показатель степенивозрастает.

Если 0 < a < 1 и a > Показатель степени то Показатель степени, т. е. при 0 < a < 1 функция Показатель степениубывает.

Доказательство:

Пусть Показатель степени. Рассмотрим разность

Показатель степени

Так как Показатель степени, то и, следовательно, Показатель степени. ПустьПоказатель степени Рассмотрим

Показатель степени

Так как

Показатель степени

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат