Проблема решения алгебраических уравнений в радикалах от евклидовых «Начал» до Н.Г. Абеля.

Оглавление:

Предмет: Философия

Тип работы: Реферат

У вас нет времени или вам не удаётся понять эту тему? Напишите мне в whatsapp, согласуем сроки и я вам помогу!

На странице рефераты по философии вы найдете много готовых тем для рефератов по предмету «Философия».

Дополнительные готовые рефераты на темы:

Введение

Предметом исследования в данной работе является решение уравнений в радикалах (история вопроса).

Объектом исследования в работе является жизнь и научная деятельность (а именно решение кубических уравнений в радикалах) итальянского математика эпохи Возрождения Джироламо Кардано. О котором так писал Г. Э. Лессинг (1729- 1781): «Этот исключительный гений поверг все будущие поколения в сомнения относительно него. Приходится верить, что величайший разум очень тесно связан с величайшим сумасбродством, или его характер останется неразрешимой загадкой» (Гутер, Полунов 1980: 40).

Цель работы заключается в том, чтобы выяснить, как был открыт метод решения кубических уравнений в радикалах Джироламо Кардано и какие события в его жизни, в жизни Италии и мира предшествовали этому.

Последний век эпохи Возрождения

XVI век — последний век эпохи Возрождения- этого «величайшего прогрессивного переворота из всех, пережитых до того времени человечеством» (Ф.Энгельс); век, когда, расшатывая религиозно- схоластические представления о мироздании, начала зарождаться новая наука, свободная от теологической опеки и обращенная к природе и человеку. В XVI веке европейские математики сумели, наконец, сравниться в мудрости с древними греками и превзойти их там, где успехи эллинов были не велики: в решении уравнений. Такой прорыв в неведомое стал итогом долгой культурной революции. Она началась в 14 веке, когда в Италии появились первые великие поэты Нового времени: Данте Алигьери (1265-1321) и Франческо Петрарка. Подобно Гомеру, они объявили своим современникам: пришла пора строить новый мир, равняясь на античные образцы и стараясь их превзойти!

XVI век — век Леонардо да Винчи, Тициана, Лодовико Ариосто, Микеланджело Буонарроти, Фернана Магеллана, Николая Коперника, Мартина Лютера, Эразма Роттердамского, Тихо Браге, Андрея Везалия, Франсуа Виета, Джордано Бруно и многих, многих других. Это и век Джироламо Кардано — итальянского математика, врача, философа, инженера и писателя.

Он жил в трудное для Италии время: страна, государственно раздробленная, придавленная прессом феодально-католической реакции, не раз подвергавшаяся нашествиям иностранных войск, переживала глубокий политический кризис. Городские коммуны Италии XIV-XVI веков были во многом похожи на полисы Эллады. На их улицах гремели столь же бурные политические споры и религиозные проповеди, а в залах университетов обычные лекции чередовались с публичными диспутами на самые разные темы. Существуют ли в природе те «универсалии», о которых писал Платон? Например, законны ли общие понятия «овощ» и «фрукт» — или существуют только репа и капуста, яблоко и персик? Возможны ли в геометрии новые теоремы, не известные Евклиду? Можно ли решить те геометрические задачи, которые были не под силу древним грекам — например, разделить любой угол на три равные части?

Когда распространилось книгопечатание, споры этого рода начали волновать не только узкий круг профессионалов. Теперь каждый образованный человек мог заглянуть в книгу Евклида или Архимеда и составить свое мнение об их открытиях. Итальянские художники XV века научились применять стереометрию в живописи. Они изобрели технику перспективы, благодаря которой плоские изображения пространственных тел кажутся неотличимы от реальных предметов. Особенно отличился в этой области Леонардо да Винчи из Флоренции (1452-1519). Следуя по стопам Архимеда, он применял геометрию к решению механических задач: например, Леонардо рассчитал и построил водолазный колокол, создал проекты подводной лодки и вертолета.

Ровесник Леонардо — профессор Сципион дель Ферро из Болоньи (1465-1526) посвятил всю жизнь решению различных алгебраических уравнений. Затруднения, связанные с неудобными обозначениями неизвестных величин и действий над ними, были огромны. Попробуйте, например, решить квадратное уравнение, не используя знаки (+), (-) и др., а заменяя их словами! Сципион преодолел эти трудности. Комбинируя решение квадратного уравнения с извлечением кубического корня, он сумел решить уравнение вида (х.. = рх + q). Оказалось, что оно имеет 3 разных корня, и что к нему сводится произвольное кубическое уравнение вида (ах.. + вх.. + сх + d = 0). Сейчас эти факты очевидны для каждого старшеклассника, видавшего график функции (у = х..) и понимающего, что такое линейная замена переменной в многочлене. Но итальянцы 16 века не ведали понятий «функция», «график» и «многочлен»!

Линейное преобразование Кардано

Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени; указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x-a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений.

Формула Феррари для корней многочлена степени 4 выглядит еще сложнее, поскольку в ней решение идет в два этапа. Сначала по уравнению степени 4 составляется вспомогательное кубическое уравнение, а потом по нему — квадратное уравнение.

Решение уравнений-многочленов степеней 3 и 4 стало крупным успехом новой европейской математики. Но за всякий успех приходится платить. Платой за удачи Кардано и Феррари оказалось появление МНИМЫХ чисел. Так были названы квадратные корни из отрицательных чисел. Они неизбежно возникают при решении кубического уравнения по способу Кардано, даже если такое уравнение имеет три действительных корня.

В середине 16 века европейские математики уже привыкли к целым и дробным, отрицательным и иррациональным числам. Любые два числа этих сортов можно сравнить по величине и изобразить точками на числовой прямой: (а) лежит справа от (в), если а<в. Но выражения вида или 1 +не удается вписать в эту общую картину! И хотя было понятно, как проделывать над ними арифметические действия и даже как извлекать из них корни — но придумать для новых чисел удачные геометрические «портреты» математики сумели лишь к концу 18 века. До тех пор «мнимые» числа считались безобразным промежуточным продуктом неискусных вычислений: их терпели, но избегали говорить и думать о них. Вспомним, что на 20 веков раньше Пифагор и его ученики так же относились к новонайденным иррациональным числам!

Джироламо Кардано (1501-1576) был одним из выдающихся и разносторонних ученых эпохи Возрождения. Родился в Павии. Отца звали Фацио. Доктор права и медицины одновременно, «хорошо сведущий в математике», Фацио пользовался в Милане известностью благодаря своей учености, вспыльчивости и далеко не добродушному юмору. К деньгам относился беззаботно и легко давал в долг; среди знакомых слыл любителем порассказать всякие загадочные истории, но друзей имел немного. Среди них Фацио выделял сенатора Анджело Сельватико, своего бывшего ученика, и механика Галеаццо дель Россо, изготовлявшего замечательные мечи и небывалой крепости доспехи. Верил Фацио в духов и демонов и почитал великого геометра эллинов Евклида. На хлеб насущный зарабатывал как юрист и преподаватель гражданского права и математики; был близок кругу миланских ученых и инженеров, в который входили математик Лука Пачоли, архитектор Донато Браманте, члены инженерной коллегии Пьетро Монти, Джакомо Андреа Феррари и Леонардо да Винчи. Великий Леонардо неоднократно советовался с мессером Фацио по вопросам геометрии.

Фацио противился появлению на свет ребенка, которого Клара (мать Джироламо Кардано), будучи вдовой, носила под сердцем. Ему (Фацио) было пятьдесят шесть лет, он был на двадцать два года старше Клары. Дочь математика Джакомо Микери Клара «была вспыльчива, обладала хорошей памятью и даровитостью, была невысокого роста, скорее тучная, и отличалась благочестием» (что, как мы видим, не помешало ей иметь внебрачного ребенка). Когда Джироламо было чуть больше месяца, дети Клары от брака с неким Антонио Альберио — два сына и дочь — умерли от чумы в Милане.

Долгая и бурная жизнь Кардано была полна взлетов и падений. Он то становился аскетом, то предавался всевозможным излишествам; он знал застенки инквизиции и дворцы вельмож, ему пришлось познать голод, нищету, унижения, обиды, но и вкусить славу лучшего врача Европы, советов которого домогались папы и государи, авторитетного математика, известного литератора, автора многих десятков книг. Почти ровесник своего века, он усвоил и принял все его предрассудки и заблуждения: с гениальными алгебраическими открытиями у него соседствуют астрологические изыскания, описания хитроумных механизмов перемежаются сообщениями о чудесах, различных пророчествах и чудищах. Бесстрашный философ, отрицавший бессмертие души, он приходил в трепет от любого дурного предназначения и твердо верил в амулеты, признавал «вещие сны», хиромантию и мистическую власть чисел.

Математические работы Кардано

Математические работы Кардано — «Практика общей арифметики и простые измерения», «Великое искусство, или О правилах алгебры», «Правила Ализа», «Великое искусство арифметики», «Новое сочинение об отношениях чисел», «Об игре в кости» и некоторые другие — собраны в четвертом томе лионского издания сочинений Миланца(1663).Он писал почти обо всем, что знала математика Возрождения, перемежая по своему обыкновению новые, собственные результаты с теми, которые уже были получены другими авторами. Однако ни в одной из областей математики его достижения не являются столь весомыми и неоспоримыми, как в алгебре.

В первой главе «Великого искусства» Кардано называет создателем алгебры «Мохаммеда, сына араба Мусы». Очевидно, он имел в виду Мухаммеда ибн Муса ал — Хорезми (787ок.850), написавшего в 820 году «Краткую книгу об исчислении ал — джабра и ал — мукабалы». Название трактата ал — Хорезми соответствует методам решения уравнений: ал — джабр (восстановление) означает перенос отрицательного члена в другую часть уравнения с положительным знаком, действие ал — мукабалы (противопоставления) заключаются в уничтожении в обеих частях уравнения одинаковых членов (приведении подобных). Выполнив, например, преобразования уравнения произведем операции ал — джабр и ал — мукабала соответственно. В «Краткой книге» содержались методы решения уравнений первой и второй, которые автор приводил в числовой форме, но сопровождал геометрическими доказательствами, заимствованными арабской наукой у древних греков. Сочинение «Мохаммеда, сына араба Мусы», переведенное на латинский язык, пользовалось большой известностью в средневековой Европе. Поначалу переводчики полностью переписывали заглавие «Краткой книги», но постепенно вторая часть стала воспроизводиться все реже и, наконец, совсем исчезла. Осталось только слово «ал — джабр», которое затем превратилось в «алгебру». Аналогично слово «алгорифм» (алгоритм) произошло от «ал — Хорезми». Интересно, что «ал — джабр» имеет также смысл «исправление того, что сломано». Историк математики В.П.Шереметьевский указывал, что в народном испанском языке слово algebraista означает «костоправ».

Алгебраические термины, которые использовали переводчики ал — Хорезми, представляли собой латинские эквиваленты арабских слов, обозначающих те же понятия. Неизвестная называлась res (вещь) или radix (корень), квадрат неизвестной- census (имущество), куб- cubus (куб), постоянная в уравнении- numerus (числа). Позднее итальянские математики использовали вместо латинского res народное cosa и иногда именовали алгебру arte della cosa. Немцы в XV веке исказили cosa в coss, поэтому немецких алгебраистов называли также и «коссистами». Упоминается «коссическое искусство» или «косс» и в первой русской арифметике Л.Магницкого.

Спустя примерно 350 лет после смерти ал — Хорезми результаты арабских алгебраистов изложил в своей «Книге абака» сын купца Боначчи из Пизы Леонардо, известный в истории математики как Леонардо Пизанский, или Фибоначчи. Его сочинение во многом способствовало усилению интереса европейцев к алгебре и появлению других алгебраических работ. Европейская алгебра (как, впрочем, и арабская) вплоть до XV века не использовала символы, поэтому уравнения записывались в словесной форме. Например, запись уравнения выглядела так: census et radices aeguantur numeris (квадрат и корни равны числам). Символическая алгебра впервые появилась в книге «Сумма» Луки Пачоли.

В своей «Сумме» Лука Пачоли рассматривал правила решения уравнений первой и второй степени, а также некоторых частных видов уравнений четвертой степени. В соответствии с традицией, идущей от ал — Хорезми, он указывал для квадратных уравнений два корня, но отрицательный опускал; не рассматривались им также корни равные нулю. Что же касается уравнений третьей степени, то Пачоли отрицал возможность их решения. «Сумма» как бы подводила итоги результатам, полученным в алгебре до XV века. На это сочинение опирались в своем творчестве выдающиеся итальянские алгебраисты XV века — дель Ферро, Тарталья, Кардано и Бомбелли.

Список литературы

Глав. ред. М. Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.
Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.
Г. Корн и Т. Корн. Справаочник по математике для начуных работников и инженеров. – М.: Наука, 1970.- 720 с.

Заключение

Итак, предметом нашего исследования стало решение уравнений в радикалах (история вопроса). Мы рассмотрели, каким образом в эпоху Возрождения были решены уравнения третьей степени. Мы выяснили, что эти уравнения были решены в радикалах Джироламо Кардано — итальянским математиком, врачом, естествоиспытателем и изобретателем — одним из выдающимся ученым эпохи Возрождения. Формула Кардано для решения уравнений третьей степени в радикалах выглядит так:

Таким образом, объектом исследования нашей работы стала жизнь и научная деятельность (а именно решение кубических уравнений в радикалах) итальянского математика эпохи Возрождения Джироламо Кардано (1501- 1576).

Наша цель работы заключалась в том, чтобы выяснить, как был открыт метод решения кубических уравнений в радикалах Джироламо Кардано и какие события в его жизни, в жизни Италии и мира предшествовали этому. Этой цели я считаю, мы достигли. Задачи, которые ставили в работе мы также выполнили.

Мы описали жизнь Италии и мира того времени, когда жил и творил Джироламо Кардано. Описали жизнь самого Кардано.

Мы описали, как именно Джироламо пришел к решению кубических уравнений в радикалах.

Решение уравнений в радикалах очень важное открытие эпохи Возрождения. Оно прославило на века имя Джироламо Кардано. Кубические уравнения применяются в инженерии, в архитектурном деле, в механике и в других областях науки, в которых необходимо проводить сложные математические вычисления.