Оглавление:
Случаи сведения функций к линейной. Выбор «лучшей» функции
Рассмотрим другие виды функций, используемых в экономических исследованиях и способы их сведения к линейной зависимости, табл. 24.2.
Таблица 24.2
Для проверки адекватности построенной зависимости реальному поведению значений 
можно использовать коэффициент аппроксимации МАРЕ:
где 
— значения функции регрессии, вычисленные по соответствующим значениям 
.
В случае, если 
, полученная функция регрессии имеет высокую точность. Если 
, точность функции регрессии хорошая (допустимая). При 
точность полученной функции удовлетворительная, однако использование данной зависимости па практике спорно. При 
точность неудовлетворительная и использование данной функции в анализе недопустимо.
В случае если при исследованиях зависимость х и у определили с помощью нескольких функций, то для выбора «лучшей» рассчитывают среднюю квадратичную ошибку
где 
— количество параметров полученной функции.
Для дальнейших исследований обычно используют функцию с наименьшей квадратичной ошибкой.
Пример 24.1.
В табл. 24.3 приведены данные о зависимости значений признака 
от значений фактора 
.
Таблица 24.3
Требуется:
1) построить функцию регрессии вида 
, оценить ее качество, найти среднюю квадратичную ошибку уравнения регрессии:
2) построить функцию регрессии вида 
, оценить ее качество, найти среднюю квадратичную ошибку уравнения регрессии:
3) сравнить полученные результаты и сделать вывод о возможности их использования в прогнозировании.
Решение:
Для построения функций регрессии будем использовать метод наименьших квадратов. Все расчеты будем выполнять с точностью до трех знаков после запятой.
1. В случае линейной регрессии система для определения параметров 
будет иметь вид (24.5).
Все вспомогательные вычисления по определению постоянных коэффициентов данной системы представим в табл. 24.4.
Таблица 24.4
Система для определения параметров принимает вид:
Воспользуемся формулами (24.6) и получим
Таким образом, в случае линейной зависимости, функция регрессии принимает вид 
.
Для оценки качества полученной функции регрессии будем использовать коэффициент аппроксимации МАРЕ (24.7), среднюю квадратичную ошибку рассчитаем по формуле (24.8). Все вспомогательные вычисления представим в табл. 24.5. Согласно расчетам, коэффициент аппроксимации 
, что соответствует высокой точности функции.
Средняя квадратичная ошибка составит 
.
Таблица 24.5
2. В случае зависимости вида 
предварительно требуется выполнить замену 
. Выполнив все вспомогательные вычисления по определению постоянных коэффициентов получим систему:
откуда 
. Таким образом, в случае квадратичной зависимости, функция регрессии принимает вид 
.
Кроме того, в данном случае вычисления позволяют получить следующие результаты:
что соответствует допустимой точности функции регрессии; средняя квадратичная ошибка составит
3. Таким образом, функция регрессии 
обладает высокой точностью, функция регрессии 
-допустимой точностью, а это означает, что использование первой функции обеспечит более достоверные результаты при прогнозировании. Средняя квадратичная ошибка для функции 
также меньше, чем для функции 
Вывод. На основе данных о зависимости значений признака от значений фактора были построены две функции регрессии: 
. В целях прогнозирования рекомендуется использовать зависимость вида 
, так как опа обладает высокой точностью соответствия исходным данным и меньшей средней квадратичной ошибкой функции регрессии.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Случай линейной зависимости в математическом анализе |
| Случай квадратичной зависимости в математическом анализе |
| Элементы теории множеств: основные понятия |
| Логические символы в теории множеств |
