Оглавление:
Абсолютно сходящиеся интегралы
Абсолютно сходящиеся интегралы. Важным понятием неправильного интеграла функции, изменяющего знак, является понятие абсолютного сходящегося интеграла. Определение 2.Неправильный Интеграл$ / (x) xx называется Интеграл$ / / (x) / Да. Функция, в которой Интеграл^(х) абсолютно сходится В промежутке между концами а и в называется абсолютная интегрируемость (в смысле непостижимая). если A и b конечны, то функция/также полностью интегрируема в интервале[a, b]. Теорема 2 сразу же подразумевает критерий абсолютной сходимости интегралов. Теорема 3.Для интегралов/ / (x) х Если необходимо, M)= m) (e) dSt для E0 ’и d) l)» если есть 0、 Эта теорема называется критерием Коши абсолютной сходимости интегралов. Как обычно, напомним, что здесь функция/предполагается интегрируемой по Риману на любом интервале[a, mu]. ОО б = ^ {со.
Знак сходимости интегралов неотрицательных функций также может быть четко применен для выявления абсолютной сходимости интегралов. Например, предположим, что вам нужно это выяснить. Людмила Фирмаль
- Является ли Интеграл сходится С Сходиться Символ сравнения также сходится грааль (33.28) сходится полностью. Важная связь между сходимостью и абсолютной сходимостью интегралов устанавливается следующими теоремами: Теорема 4.Если Интеграл сходится идеально, он просто сходится. Доказательство. e 0 дано. $ / (x) dx, полностью сходящиеся, по критерию Коши、 Сходимость Интеграла любого e 0 (см. теорему 3) m)= m) (e) m !Т | ’ .3, т] р] » б, то С Из-за неравенства (33.29) показано r) ’и r]о Таким образом, по критерию Коши, сходимость интеграла(см. 2) Интеграл\ {(x) dx сходится. [[] Практические вопросы 10.
Если неправильный Интеграл функции, определенной в сегменте, сходится полностью, он просто сходится. Интеграл Римана является частным случаем неправильного integral. So, если существует Интеграл Римана от абсолютного значения функции, то существует Интеграл Римана от самой функции. Это неправильно(пожалуйста, приведите правильный пример! это не. Где же ошибка в рассуждениях? Важно отметить, что интеграл может сходиться, но не полностью converge. As в качестве примера рассмотрим Интеграл Во-первых, η= 1, поэтому、 функция ОЗУ, определяемая единицей при x = 0, непрерывна с полустрокой x> 0, поэтому она может быть интегрирована на любом интервале[0, m)], особенно на интервале[0, 1], согласно Riemann. So, сходящаяся, абсолютная сходящаяся задача Интеграла (33.30)эквивалентна сходящейся, абсолютной сходящейся задаче Интеграла, соответственно.
- Выполните частичную интеграцию, чтобы изучить ее сходимость. Справа я получил Интеграл (33.28).Это, как вы знаете, абсолютно и потому просто сходится. Таким образом, выражение справа от результата имеет смысл и, следовательно, finite. So, в 1-м, интеграция, выполненная частями, оправдана, во 2-м, левая также конечна. То есть, Интеграл (33.31) сходится. В результате интегрирования по части Интеграл (33.31) был заменен суммой нескольких конечных выражений и другим некорректным интегралом. Это связано с тем, что интегральная переменная в знаменателе подынтегральной функции больше, чем подынтегральная функция (33.31), а числитель меньше, чем (33.31).
В результирующем Интеграле подынтегральная функция имеет тенденцию быть быстрее, чем исходная функция. ^ = о(1) х-> а ОО. Поэтому оказывается, что его сходимость легче исследовать непосредственно, чем сходимость оригинала integral. It получается, что она не только конвергентна, но и полностью конвергентна. Интеграл (33.31) не сходится полностью, то есть Интеграл Он будет ветвиться. Действительно, от неравенства Интеграл-одинаков и равен+ ОО. Интеграл 1 да converges. To подтвердите это, консолидируйте Он частично.
Метод, который может свести исследование сходимости одного интеграла к изучению сходимости другого, называется «лучшей сходимостью», в некотором смысле, чем этот, и методом улучшения сходимости. Людмила Фирмаль
- Эта формула позволяет сходимости Интеграла I продолжать непосредственно от абсолютной сходимости интеграла. V-2-xx, это явно Здесь m) * + когда вы достигнете предела как oo, вы можете видеть, что правая сторона этого неравенства, а следовательно, и левая сторона, равна+ oo, и Интеграл (33.32) имеет тенденцию расходиться. Итак, Интеграл (33.31), а следовательно и Интеграл (33.30), абсолютно не сходится. Давайте докажем еще одно вспомогательное Утверждение 1, которое поможет нам: Лемма 2.Если функции/полностью интегрируемы, а функция y интегрируема по Риману с интервалом[a, b], то их произведение§ 1 / полностью интегрируемо с[a, b Proof. As договорились выше, только такие вещи.
Смотрите также:
