Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Алгебраические системы с тремя неизвестными

Для систем с тремя неизвестными определения понятий равносильности и следствия, а также свойства преобразований систем формулируются аналогично тому, как это было сделано для систем с двумя неизвестными.

Будем рассматривать системы вида

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

где Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения являются либо многочленами от Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, либо могут быть представлены в виде отношения многочленов.

Сформулируем для систем уравнений с тремя неизвестными следующие утверждения, которые могут оказаться полезными при решении систем.

Если Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, где Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения и Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения —многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

и

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

и поэтому множество решений системы (1) в этом случае есть объединение множеств решений систем (2) и (3).

2°. Если уравнение

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

есть следствие системы (1), то система

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

равносильна системе (1), т. е. при добавлении к системе (1) еще одного уравнения (4), являющегося следствием этой системы, получается система, равносильная системе (1).

. Если уравнение (4) — следствие системы (1), причем Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения где Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения и Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения—многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

. Система (1) равносильна каждой из следующих систем:

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

5°. Если уравнение Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения равносильно уравнению Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решениягде Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения — многочлен от Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения и Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, то система (1) равносильна системе

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Это утверждение лежит в основе метода исключения неизвестных: система (1) сводится к системе (5), (6) с двумя неизвестными.

Прежде чем переходить к примерам алгебраических систем с тремя неизвестными, отметим, что нет общих рецептов для нахождения решений систем. Каждый раз нужно учитывать конкретные особенности рассматриваемой системы. Можно дать только общий совет: решайте побольше задач.

Рассмотрим сначала системы с тремя неизвестными, которые сводятся к кубическим уравнениям.

К таким системам относятся системы симметрических алгебраических уравнений, т.е. системы вида (1), где Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения — многочлены, каждый из которых не меняется, если поменять местами любую пару из переменных Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения.

В этом случае удобно ввести следующие переменные:

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Простейший пример системы рассматриваемого вида — система

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Система (7) и кубическое уравнение

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

связаны следующим образом.

Если Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения — корни уравнения (8), то система (7) имеет шесть решений: Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения получаемых всевозможными перестановками трех чисел Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения. Обратно, если Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения решение системы (7), то Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения — корни уравнения (8).

Доказательство этого утверждения основано на использовании формул Виета для корней уравнения (8):

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Для сведения к системам (7) систем симметрических уравнений вида

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

можно использовать следующие тождества:

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Примеры с решениями

Пример №186.

Решить систему уравнений

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Решение:

Используя уравнения (12), (13) и тождество (9), получаем

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Применяя формулу (11) и учитывая равенства (13)-(15), находим Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Следовательно, исходная система равносильна системе вида (7), в которой Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, а уравнение (8) имеет вид

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Корни этого уравнения — числа Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Поэтому система имеет шесть решений, получаемых перестановкой чисел Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Ответ. Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Обратимся теперь к системам с тремя неизвестными, которые не являются симметрическими.

Пример №187.

Решить систему уравнений

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Решение:

Так как правые части уравнений отличны от нуля, то Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Полагая Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения получаем систему линейных уравнений

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Сложив уравнения системы (16), находим

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Из (16) и (17) получаем Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решеният. е.

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Перемножив почленно уравнения системы (18), которая равносильна исходной, имеем Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения откуда

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

или

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Следовательно, исходная система равносильна совокупности систем (18), (19) и (18), (20), которые имеют решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения и Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения соответственно.

Ответ. Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Пример №188.

Решить систему уравнений

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Решение:

Будем решать систему методом исключения неизвестных и сведением, в конечном счете, к одному уравнению с одним неизвестным. Складывая почленно уравнения (21) и (23), получаем

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Так как Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения на основании равенства (24), то из этого равенства следует, что

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Запишем далее уравнение (22) в виде

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Исключив Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения из уравнений (24) и (26), получаем Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения откуда

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Заметим, что система (27), (25), (21) равносильна системе (21)— (23). Подставляя выражения для Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения и Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения из формул (27) и (25) в уравнение (21), получаем

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

или Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияоткуда Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияСоответствующие значения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения и Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения найдем по формулам (27) и (25).

Ответ. Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Пример №189.

Решить систему уравнений

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Решение:

Перемножив уравнения системы (28), получаем Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

или

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Уравнение (29) является следствием системы (28), которая равносильна системе

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Уравнения (30), (31), (32) имеют решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения соответственно. С учетом равенства (29) находим четыре решения системы (28).

Ответ. Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Пример №190.

Найти решения системы уравнений

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

удовлетворяющие условию

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Решение:

Вычитая из уравнения (34) уравнение (33), получаем

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Далее, вычитая из уравнения (35) уравнение (33), находим

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Наконец, складывая уравнения (34) и (35), получаем

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Система (37)-(39) равносильна системе (33)-(35), а при условии (36) — системе линейных уравнений

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

имеющей единственное решениеАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Ответ. Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Пример №191.

Решить систему уравнений

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Решение:

Вычтем из уравнения (41) уравнение (40) и преобразуем полученное уравнение к виду

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Выполнив ту же операцию с уравнениями (42) и (41), имеем

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Система (43), (44), (42), равносильная системе (40)-(42), распадается на следующие четыре системы:

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Полученные системы легко решаются методом исключения неизвестных. Объединив решения этих систем, найдем все решения исходной системы.

Ответ. Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Пример №192.

Решить систему уравнений

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Решение:

Решим эту систему как линейную относительно Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Для этого сложим попарно уравнения системы (45) и получим систему

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Перемножив уравнения системы (46) и полагая Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения находим Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения или Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения откуда Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения т. е.

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Система (45) в силу утверждения 3° равносильна совокупности систем (46), (47) и (46), (48), каждая из которых имеет единственное решение.

Ответ.Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Пример №193.

Решить систему уравнений

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Решение:

Если Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, то из системы (49) следует, что Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, а Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения может принимать любые значения. Аналогично, если Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, то Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения— любое. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений вида

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Будем искать решения системы (49) такие, что Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения. Умножив первое уравнение системы (49) на Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, а третье — на Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения и сложив результаты, получим

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Прибавив к уравнению (51) второе уравнение системы (49), умноженное на Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения:, находим

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Каждое из уравнений (51), (52) является следствием системы (49).

Так как Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения — действительные числа (требуется найти действительные решения системы), то уравнение (52) равносильно уравнению

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Исключая Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения из уравнений (53) и (51), получаем

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Уравнения (53) и (54) являются следствиями системы (49), а уравнение (54) равносильно совокупности уравнений

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Из (55) и (53) следует, что Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения, а из системы (49) при Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения и Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения находим Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Полученное решение содержится среди решений (50).

Из (56) и (53) следует, что Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения Подставляя Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения в систему (49), находим решения Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения иАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Ответ. Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решенияАлгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения — любое действительное число; Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение других типов систем алгебраических систем уравнений
Иррациональные системы с двумя неизвестными с примерами решения
Задачи на движение с примерами решения
Задачи на сплавы и смеси с примерами решения