Для связи в whatsapp +905441085890

Аналитическая функция ТФКП

Аналитическая функция. Дифференциал

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.

Однозначная функция Аналитическая функция ТФКП называется аналитической (голоморфной) в точке Аналитическая функция ТФКП, если она дифференцируема (выполнены условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки. Функция Аналитическая функция ТФКП называется аналитической в области Аналитическая функция ТФКП, если она дифференцируема в каждой точке Аналитическая функция ТФКП.

Как видно из этого определения, условие аналитичности в точке не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке (первое условие — более сильное).

Точки плоскости Аналитическая функция ТФКП, в которых однозначная функция Аналитическая функция ТФКП аналитична, называются правильными точками Аналитическая функция ТФКП. Точки, в которых функция Аналитическая функция ТФКП не является аналитической, называются особыми точками этой функции.

Пусть функция Аналитическая функция ТФКП аналитична в точке Аналитическая функция ТФКП. Тогда Аналитическая функция ТФКП Аналитическая функция ТФКП. Отсюда следует, что Аналитическая функция ТФКП, где Аналитическая функция ТФКП при Аналитическая функция ТФКП. Тогда приращение функции можно записать так: Аналитическая функция ТФКП. Если Аналитическая функция ТФКП, то первое слагаемое Аналитическая функция ТФКП является при Аналитическая функция ТФКП бесконечно малой того же порядка, что и Аналитическая функция ТФКП; второе слагаемое Аналитическая функция ТФКП; есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Аналитическая функция ТФКП. Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции Аналитическая функция ТФКП.

Дифференциалом Аналитическая функция ТФКП аналитической функции Аналитическая функция ТФКП в точке Аналитическая функция ТФКП называется главная часть ее приращения, т. е. Аналитическая функция ТФКП, или Аналитическая функция ТФКП (так как при Аналитическая функция ТФКП будет Аналитическая функция ТФКП). Отсюда следует, что Аналитическая функция ТФКП, т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Замечание. Если функция Аналитическая функция ТФКП аналитична в некоторой области Аналитическая функция ТФКП, то функции Аналитическая функция ТФКП и Аналитическая функция ТФКП удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа (Аналитическая функция ТФКП, см. п. 72.2).

Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по Аналитическая функция ТФКП, а второе по Аналитическая функция ТФКП, получаем:

Аналитическая функция ТФКП

откуда Аналитическая функция ТФКП.

Функции Аналитическая функция ТФКП и Аналитическая функция ТФКП являются гармоническими функциями.

Пример №74.3.

Проверить, является ли функция Аналитическая функция ТФКП аналитической. Найти ее производную.

Решение:

Находим действительную Аналитическая функция ТФКП и мнимую Аналитическая функция ТФКП части функции:

Аналитическая функция ТФКП

Таким образом, Аналитическая функция ТФКП. Проверяем условия Эйлера-Даламбера (74.5):

Аналитическая функция ТФКП

Условия (74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости Аналитическая функция ТФКП. Функция Аналитическая функция ТФКП дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из формул (74.6), например по первой:

Аналитическая функция ТФКП

т. е. Аналитическая функция ТФКП.

Заметим, что производную функции Аналитическая функция ТФКП можно найти, воспользовавшись определением производной (74.4):

Аналитическая функция ТФКП

Пример №74.4.

Найти аналитическую функцию Аналитическая функция ТФКП по ее заданной действительной части Аналитическая функция ТФКП.

Решение:

Отметим, что функция и является гармонической функцией (Аналитическая функция ТФКП, следовательно, Аналитическая функция ТФКП).

Для определения мнимой части Аналитическая функция ТФКП воспользуемся условиями Эйлера-Даламбера (74.5). Так как Аналитическая функция ТФКП,
то, согласно первому условию, Аналитическая функция ТФКП. Отсюда, интегрируя по Аналитическая функция ТФКП, находим:

Аналитическая функция ТФКП

Для определения функции Аналитическая функция ТФКП воспользуемся вторым условием Эйлера Даламбера. Так как

Аналитическая функция ТФКП

а

Аналитическая функция ТФКП

то Аналитическая функция ТФКП. Отсюда Аналитическая функция ТФКП и Аналитическая функция ТФКП, где Аналитическая функция ТФКП. Поэтому Аналитическая функция ТФКП. Находим функцию Аналитическая функция ТФКП:

Аналитическая функция ТФКП

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Свойства основных классов векторных полей
Дифференцирование функции комплексного переменного
Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Интегрирование функции комплексного переменного