Для связи в whatsapp +905441085890

Анализ и моделирование случайной компоненты

Анализ и моделирование случайной компоненты

Целью исследования является выяснение вопроса: подчинены ли ряды некоторому закону или любая их часть случайна? Наиболее простым критерием проверки случайности исследуемого ряда является определение местонахождения максимумов и минимумов. Для применения такого критерия подсчитывают «пики» и «ямы» динамического ряда:

Анализ и моделирование случайной компоненты

«Пиком» называют значение, которое больше двух соседних. Два или более равных значения, которые больше предшествующих и последующих. Рассматриваются как один пик. «Ямой» называется значение, меньшее двух соседних. Пики и ямы называются экстремальными точками динамического ряда. Число экстремальных точек на единицу меньше числа интервалов монотонности. Интервал между двумя экстремальными точками называется «фазой».

Вычислив число экстремальных точек исследуемого динамического ряда, сравниваем с математическим ожиданием

Анализ и моделирование случайной компоненты

Если их больше, то ряд является быстро колеблющимся. Если их меньше, то последовательные значения положительно коррелированны.

Для оценки существенности разности между подсчитанным числом экстремальных точек и их ожидаемым числом, вычисляем стандартное отклонение (среднее статистическое квадратическое отклонение)

Анализ и моделирование случайной компоненты

В случайном ряду экстремальная точка приходится примерно на каждые полтора (1,5) наблюдения.

Кроме вычисления числа экстремальных точек, изучают еще и распределение интервалов («фаз») между ними. Для установления наличия фазы длиной Анализ и моделирование случайной компоненты рассматривается Анализ и моделирование случайной компоненты уровня динамического ряда, где (для случая роста) первый больше второго, второй меньше третьего, третий меньше четвертого,…, Анализ и моделирование случайной компоненты-й меньше Анализ и моделирование случайной компоненты-го, а Анализ и моделирование случайной компоненты-й больше (Анализ и моделирование случайной компоненты)-го. Проверка случайности состоит в сравнении математического ожидания числа фаз различной длины Анализ и моделирование случайной компоненты и математического ожидания полного числа фаз, вычисленных по формулам

Анализ и моделирование случайной компоненты
Анализ и моделирование случайной компоненты

с числом рассчитанных фаз.

Для выявления случайной компоненты динамического ряда применяется также метод конечных разностей, который состоит в вычислении первых, вторых, третьих, …, Анализ и моделирование случайной компоненты разностей, делении на Анализ и моделирование случайной компоненты и определение момента когда отношение

Анализ и моделирование случайной компоненты

становится постоянным, т.е.

Анализ и моделирование случайной компоненты

Достоверность равенства

Анализ и моделирование случайной компоненты

определяется при помощи контрольной величины

Анализ и моделирование случайной компоненты

при Анализ и моделирование случайной компоненты … При этом нужно найти такое Анализ и моделирование случайной компоненты, что Анализ и моделирование случайной компоненты, будет надежным, a Анализ и моделирование случайной компоненты — нет. Тогда можно предположить, что Анализ и моделирование случайной компоненты будет оценкой для неизвестного рассеяния Анализ и моделирование случайной компоненты случайной компоненты.

Пример 7.6.

В табл. 7.8 приведены данные об урожайности озимой ржи. Рассматриваемый динамический ряд содержит 56 уровней. Так как дважды встречаются одинаковые уровни (в 1957 и 1958 гг., в 1961 и 1962 гг.), уменьшим число уровней до 54. Анализ динамического ряда показывает, что число экстремальных точек равно 35. Вычисляем математическое ожидание числа экстремальных точек для случайного ряда, состоящего из 54 наблюдений:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Число экстремальных точек исследуемого динамического ряда и математическое ожидание ожидаемого числа экстремальных точек хорошо согласуются, так как стандартное отклонение

Анализ и моделирование случайной компоненты

больше, чем разность 35 — 34 = 1. Следовательно, динамический ряд представляет случайную выборку.

Анализ и моделирование случайной компоненты

Пример 7.7.

Рассмотрим динамический ряд, характеризующий доходы фирмы, производящей детские игрушки:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Оценим неизвестное рассеяние случайного элемента Анализ и моделирование случайной компоненты, предполагая, что рассматриваемый динамический ряд состоит из гладкой и случайной компонент. Для этого найдем разности Анализ и моделирование случайной компоненты. Далее вычислим рассеяние разностей:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Значения биномиальных коэффициентов приведены в табл. 7.9.

Анализ и моделирование случайной компоненты

Тогда

Анализ и моделирование случайной компоненты
Анализ и моделирование случайной компоненты

Для необходимых проверок вычисляем

Анализ и моделирование случайной компоненты
Анализ и моделирование случайной компоненты

Затем находим контрольные величины:

Анализ и моделирование случайной компоненты

При нормальном распределении с вероятностью ошибки Анализ и моделирование случайной компоненты, т. е. с уровнем доверия Анализ и моделирование случайной компоненты. должно быть равно 1,96. Анализируя значения Анализ и моделирование случайной компоненты, можно предположить, что путем образования разностей второго порядка более или менее исключена систематическая компонента исследуемого динамического ряда. В качестве оценки неизвестного рассеяния случайной компоненты возьмем Анализ и моделирование случайной компоненты, так как Анализ и моделирование случайной компоненты.

Метод конечных (последовательных) разностей прост в реализации, но применять его следует осторожно, так как последовательные значения не являются независимыми и часто убывают (или возрастают), т. е. не сходятся к постоянному значению. Кроме того, сходимость не доказывает, что ряд первоначально состоял из полинома и случайной компоненты. Сходимость лишь подтверждает, что динамический ряд может быть приближенно представлен в виде полинома плюс случайная компонента. Тем не менее этот метод ценен тем, что дает верхний предел порядка полинома Анализ и моделирование случайной компоненты, который целесообразно использовать для элиминирования тренда.

Авторсгрессионные модели

Анализируя динамические ряды, можно выявить, что при объяснении поведения переменной величины в течение некоторого периода используются значения той же величины в предыдущие периоды. Например, потребление в течение года изменяется не только в соответствии с наличными доходами в течение данного года, но также в зависимости от уровня потребления, уже достигнутого в предыдущем году. Поэтому модели, кроме текущих значений эндогенных переменных, часто содержат значения некоторых из этих переменных, которые они принимали в предыдущие периоды. Такие модели будем называть авторегрессиоными моделями. Они имеют следующий вид:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Число Анализ и моделирование случайной компоненты определяющее количество периодов, от которых зависит текущее значение процесса Анализ и моделирование случайной компоненты, называется порядком авторегрессии. Если процесс Анализ и моделирование случайной компоненты может быть представлен в виде разностного уравнения

Анализ и моделирование случайной компоненты

где Анализ и моделирование случайной компоненты — скользящая средняя динамического ряда, то он называется процессом скользящей средней.

Таким образом, модель авторегрессии является моделью стационарного процесса, выражающей значение уровня Анализ и моделирование случайной компоненты динамического ряда в виде линейной комбинации конечного числа предшествующих значений этого показателя и аддитивной случайной составляющей.

Авторегрессионое представление процесса особенно полезно для прогноза эволюции динамического ряда. Следовательно, авторегрессионые модели применяются, когда известно, что изучаемый процесс зависит от развития в прошлом. Авторегрессионые модели применяются также при определении преобразования, приводящего к процессу, близкому к последовательности независимых случайных величин. Речь идет о том, что, желая рассматривать случайный процесс, используют статистические методы, задуманные для применения к авторегрессионому представлению. Поэтому существуют методы формирования стационарных процессов из временных рядов. Рассмотрим их.

  • Если уровни динамического ряда содержат линейный тренд
Анализ и моделирование случайной компоненты

где Анализ и моделирование случайной компоненты — нормально распределенная случайная составляющая с нулевой средней и постоянной дисперсией, то разности первого порядка

Анализ и моделирование случайной компоненты

уже не содержат тренда. Поэтому Анализ и моделирование случайной компоненты — случайная величина, распределение которой полностью определяется распределением величины Анализ и моделирование случайной компоненты Математическое ожидание разностей первого порядка Анализ и моделирование случайной компоненты так как Анализ и моделирование случайной компоненты, т.е. оно не зависит от Анализ и моделирование случайной компоненты. Если тренд динамического ряда характеризуется многочленом порядка Анализ и моделирование случайной компоненты и нормально распределенной случайной составляющей с нулевой средней и постоянной дисперсией Анализ и моделирование случайной компоненты: Анализ и моделирование случайной компоненты, то разности прядка Анализ и моделирование случайной компоненты

Анализ и моделирование случайной компоненты

являясь случайной величиной с постоянным математическим ожиданием, также не зависят от Анализ и моделирование случайной компоненты. В этом случае Анализ и моделирование случайной компоненты.

Таким образом, динамический ряд, уровни которого характеризуются полиномиальным трендом и случайной компонентой с нормальным законом распределения Анализ и моделирование случайной компоненты, приводится к стационарному процессу образованием разностей, порядок которых определяется порядком полиномиального тренда.

  • Пусть тренд динамического ряда представим в виде
Анализ и моделирование случайной компоненты

где Анализ и моделирование случайной компоненты — закон распределения случайной компоненты Анализ и моделирование случайной компоненты. Тогда динамический ряд Анализ и моделирование случайной компоненты, где Анализ и моделирование случайной компоненты, имеет постоянную среднюю — Анализ и моделирование случайной компоненты, и может быть приведен к стационарному процессу.

  • Рассмотрим аддитивную модель динамического ряда
Анализ и моделирование случайной компоненты

где Анализ и моделирование случайной компоненты — сезонная составляющая (постоянная пропорциональности, не меняющаяся от года к году); Анализ и моделирование случайной компоненты — случайная компонента с законом распределения Анализ и моделирование случайной компоненты, Тогда его уровни Анализ и моделирование случайной компоненты колеблются около среднего значения с некоторым периодом Анализ и моделирование случайной компоненты, т.е. Анализ и моделирование случайной компоненты, с точностью до случайной компоненты Анализ и моделирование случайной компоненты.

Вычислим разности через Анализ и моделирование случайной компоненты шагов, т.е. Анализ и моделирование случайной компоненты. Случайная величина Анализ и моделирование случайной компоненты, будет характеризоваться составляющей Анализ и моделирование случайной компоненты. Следовательно, процесс Анализ и моделирование случайной компоненты — это стационарный процесс, среднее значение которого совпадает со средним значением исходного ряда.

Рассмотренные случаи сведения динамических рядов к стационарным процессам могут быть описаны с помощью символического оператора сдвига Анализ и моделирование случайной компоненты, который преобразует Анализ и моделирование случайной компоненты в Анализ и моделирование случайной компоненты, так что Анализ и моделирование случайной компоненты и т.д.

Используя оператор сдвига, соотношение (7.8) можно записать так:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Определив оператор

Анализ и моделирование случайной компоненты

как полином степени Анализ и моделирование случайной компоненты получим уравнение в виде

Анализ и моделирование случайной компоненты

Уравнение (7.9) содержит Анализ и моделирование случайной компоненты неизвестных параметров: 1) Анализ и моделирование случайной компоненты коэффициентов Анализ и моделирование случайной компоненты среднее значение динамического ряда Анализ и моделирование случайной компоненты; 3) дисперсию Анализ и моделирование случайной компоненты случайной составляющей.

Можно показать, что уравнение (7.9) можно рассматривать как разностное неоднородное уравнение относительно Анализ и моделирование случайной компоненты. Для нахождения решения этого уравнения решим вначале соответствующее однородное разностное уравнение Анализ и моделирование случайной компоненты. Его решение задается функцией

Анализ и моделирование случайной компоненты

где Анализ и моделирование случайной компоненты — постоянные, определяемые из начальных условий; Анализ и моделирование случайной компоненты -корни характеристического уравнения

Анализ и моделирование случайной компоненты

Уравнение (7.11) является уравнением степени Анализ и моделирование случайной компоненты и имеет ровно Анализ и моделирование случайной компоненты корней. Предположим, что все корни уравнения (7.11) различны и Анализ и моделирование случайной компоненты для всех Анализ и моделирование случайной компоненты, т.е. что все корни этого уравнения попадают внутрь круга единичного радиуса. Тогда с ростом Анализ и моделирование случайной компоненты решение (7.10) стремится к нулю.

Ряд (7.9) рассматривается как ряд, отражающий процесс, начавшийся далеко в прошлом. Тогда вклад решения (7.9) становится пренебрежимо мал и полное решение фактически совпадает с частным решением

Анализ и моделирование случайной компоненты

где постоянные Анализ и моделирование случайной компоненты и Анализ и моделирование случайной компоненты определяются из тождества по Анализ и моделирование случайной компоненты:

Анализ и моделирование случайной компоненты

На практике корни уравнения (7.11) ищут редко. Тем не менее Уайз показал, что условия, налагаемые на эти корни, могут быть выражены в форме алгебраических связей постоянных Анализ и моделирование случайной компоненты.

Если все корни уравнения (7.11) по модулю меньше единицы (условие устойчивости) и процесс Анализ и моделирование случайной компоненты стационарен, то процесс авторегрессии также стационарен.

Для построения авторегрессионых моделей необходимо:

1) исключить тренд и сезонную компоненту из динамических рядов;

2) проверить процесс на стационарность;

3) определить порядок модели авторегрессии;

4) оценить параметры авторегрессионой модели.

Эти действия могут повторяться в процессе уточнения модели, так как анализ авторегрессии не ограничивается построением только одной модели, а строится несколько моделей, после чего определяется порядок правильной модели.

Оценка параметров авторегрессионных моделей. Оценка параметров Анализ и моделирование случайной компоненты авторегресспоной модели производится при следующих предположениях:

1) все корни характеристического уравнения (7.11) по модулю меньше единицы (условие устойчивости);

2) случайная величина Анализ и моделирование случайной компоненты подчиняется нормальному закону распределения Анализ и моделирование случайной компоненты и не зависит от Анализ и моделирование случайной компоненты и , Анализ и моделирование случайной компоненты Значения Анализ и моделирование случайной компоненты и Анализ и моделирование случайной компоненты статистически независимы при Анализ и моделирование случайной компоненты.

Оценка параметров авторегрессионой модели осуществляется методом наименьших квадратов, методом максимального правдоподобия и методом коэффициентов автокорреляции.

Метод наименьших квадратов основывается на требовании минимизации остаточной дисперсии

Анализ и моделирование случайной компоненты

Применив процедуру метода, получим систему нормальных уравнений

Анализ и моделирование случайной компоненты

Корни системы (7.12) являются коэффициентами авторегрессии.

Метод коэффициентов автокорреляции предполагает построение системы уравнений с коэффициентами автокорреляции. Предположим, что процесс Анализ и моделирование случайной компоненты имеет нулевое среднее значение, и умножим обе части равенства (7.8) на Анализ и моделирование случайной компоненты. Будем иметь

Анализ и моделирование случайной компоненты

Просуммировав слагаемые уравнения (7.13) по Анализ и моделирование случайной компоненты, получим

Анализ и моделирование случайной компоненты

Так как Анализ и моделирование случайной компоненты, то Анализ и моделирование случайной компоненты является эмпирической ковариацией, а она равна нулю в силу статистической независимости Анализ и моделирование случайной компоненты и Анализ и моделирование случайной компоненты. Умножив обе части равенства (7.14) на Анализ и моделирование случайной компоненты заменим полученные суммы парных произведений

Анализ и моделирование случайной компоненты

коэффициентами автокорреляций Анализ и моделирование случайной компоненты, получим

Анализ и моделирование случайной компоненты

Уравнение (7.15) связывает коэффициенты автокорреляции процесса авторегрессии порядка Анализ и моделирование случайной компоненты. Подставляя в уравнение (7.15) значения Анализ и моделирование случайной компоненты и учитывая, что Анализ и моделирование случайной компоненты и Анализ и моделирование случайной компоненты, для любого Анализ и моделирование случайной компоненты, получаем систему уравнений Юла — Уокера для определения параметров Анализ и моделирование случайной компоненты, авторегрессионой модели:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Решение системы (7.16) сводится к рекуррентным соотношениям:

Анализ и моделирование случайной компоненты

В качестве начального значения используется Анализ и моделирование случайной компоненты Так как Анализ и моделирование случайной компоненты то, применив формулы (7.17) и (7.18), получим оценки коэффициентов авторегрессионой модели порядка Анализ и моделирование случайной компоненты.

Отметим, что, за исключением малых значений Анализ и моделирование случайной компоненты, система (7.16) решается легче, чем система (7.12), так как ее матрица имеет более симметричную форму. В то же время при неограниченном увеличении числа наблюдений результаты оценок параметров Анализ и моделирование случайной компоненты по методу наименьших квадратов и с помощью коэффициентов автокорреляции совпадают.

Метод максимального правдоподобия состоит в построении функции правдоподобия и определении максимума этой функции. Координаты точки Анализ и моделирование случайной компоненты являющейся точкой максимума функции правдоподобия, и будут оценками правдоподобия коэффициентов авторегрессионого процесса (7.8).

Проиллюстрируем определение оценок параметров авторегрессионых моделей первого и второго порядков.

Процесс авторегрессии первого порядка, называемый марковским процессом, описывается уравнением

Анализ и моделирование случайной компоненты

Из системы (7.16) следует, что единственный коэффициент модели (7.19) равен коэффициенту автокорреляции первого порядка Анализ и моделирование случайной компоненты Условие стандартности процесса авторегрессии первого порядка определяется неравенством Анализ и моделирование случайной компоненты. Итак, процесс (7.19) может быть записан в виде

Анализ и моделирование случайной компоненты

Процесс авторегрессии второго порядка, называемый авторегрессионым процессом Юла, описывается уравнением

Анализ и моделирование случайной компоненты

система (7.16) для случая Анализ и моделирование случайной компоненты имеет вид

Анализ и моделирование случайной компоненты

Решив ее методом Гаусса, получим:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Для стационарности процесса авторегрессии второго порядка нужно, чтобы выполнялись неравенства

Анализ и моделирование случайной компоненты

что следует из условия стационарности процесса.

Коэффициенты авторегрессии третьего порядка

Анализ и моделирование случайной компоненты

вычисляются по формулам:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Так как с помощью рекуррентных формул мы находим оценки параметров регрессионных моделей, то их многократное использование при повышении порядка модели приводит к снижению точности описания исходного процесса. Поэтому повышение порядка модели при условии применения рекуррентных формул возможно лишь на 1-2 порядка. Дальнейшее повышение порядка модели авторегрессии должно сопровождаться решением системы (7.12) или (7.16).

Определение порядка авторегрессионых моделей. Одним из этапов построения авторегрессионой модели является определение ее порядка. Предварительная оценка порядка модели проводится на основе экономического анализа. Он позволяет выделять те уровни динамического ряда, которые оказали значительное влияние на его изменения в последующие периоды. Затем исследуется автокорреляционная функция

Анализ и моделирование случайной компоненты

которая характеризует внутреннюю структуру динамического ряда. Функция (7.22) является нормированной, так как Анализ и моделирование случайной компоненты и четной относительно Анализ и моделирование случайной компоненты

Так как автокорреляционная функция авторегриссионного процесса представляется в виде затухающих колебаний, то при ее анализе выясняют:

1) период колебаний, т.е. промежуток времени между двумя соседними максимальными значениями;

2) амплитуде/ колебаний;

3) фазу — угловую величину отклонения автокорреляционной функции от нулевого состояния (см. рис. 3.15, на котором приведен график автокорреляционной функции и указаны ее характеристики). По скорости затухания амплитуды можно сделать вывод о порядке модели авторегрессии.

Изменение автокорреляционной функции тесно связано со свойствами корней характеристического уравнения (7.11) и, следовательно, свойствами его коэффициентов. Если корни характеристического уравнения действительны, то автокорреляционная функция состоит из двух затухающих экспонент. Если больший по модулю корень положительный, то автокорреляционная функция убывает, оставаясь положительной. Если же больший по модулю корень отрицательный, то автокорреляционная функция убывает с изменением знака. Если корни комплексно-сопряженные, то автокорреляционная функция является затухающей с амплитудой Анализ и моделирование случайной компоненты, частотой Анализ и моделирование случайной компоненты и фазой Анализ и моделирование случайной компоненты, причем:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Далее исследуется частная автокорреляционная функция

Анализ и моделирование случайной компоненты

где Анализ и моделирование случайной компоненты — алгебраическое дополнение элемента первой строки и Анализ и моделирование случайной компоненты-го столбца матрицы Анализ и моделирование случайной компоненты — алгебраическое дополнение элемента первой строки и первого столбца матрицы Анализ и моделирование случайной компоненты. Матрица Анализ и моделирование случайной компоненты состоит из коэффициентов автокорреляции динамического ряда:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Элементы матрицы Анализ и моделирование случайной компоненты — это коэффициенты автокорреляции разностного ряда Анализ и моделирование случайной компоненты с рядом, сдвинутым на Анализ и моделирование случайной компоненты временных промежутков Анализ и моделирование случайной компоненты. Значения частной автокорреляционной функции Анализ и моделирование случайной компоненты для Анализ и моделирование случайной компоненты могут быть выражены в явном виде через значения коэффициентов автокорреляции:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Из формулы (7.23) и системы (7.16) следует, что значение частной автокорреляционной функции Анализ и моделирование случайной компоненты совпадает с коэффициентом при последнем члене авторегрессионой модели порядка Анализ и моделирование случайной компоненты, т.е. Анализ и моделирование случайной компоненты Отсюда получаем, что если исследуемый процесс является авторегрессионым порядком Анализ и моделирование случайной компоненты, то Анализ и моделирование случайной компоненты но Анализ и моделирование случайной компоненты для всех Анализ и моделирование случайной компоненты>Анализ и моделирование случайной компоненты. Используя этот признак, можно установить, описывается ли исследуемый процесс моделью авторегрессии порядка h или же требуется повысить порядок модели.

Отметим, что значения частной автокорреляционной функции при Анализ и моделирование случайной компоненты имеют асимптотически нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией Анализ и моделирование случайной компоненты, где Анализ и моделирование случайной компоненты — число уравнений динамического ряда.

Порядок авторегрессионой модели определяют, используя критерий Барлетта, состоящий в проверке гипотезы Анализ и моделирование случайной компоненты о том, что исследуемый процесс представляет авторегрессию заданного порядка Анализ и моделирование случайной компоненты.

Чтобы проверить гипотезу Анализ и моделирование случайной компоненты, т.е. чтобы определить, достаточно ли высокая степень приближения получена в результате аппроксимации моделью (7.8) порядка Анализ и моделирование случайной компоненты, вычисляют отклонения, возникающие при повышении порядка авторегрессии. Для этого строят авторегрессионые модели порядка Анализ и моделирование случайной компоненты, где Анализ и моделирование случайной компоненты, и находят суммы квадратов отклонений для тех уровней, для которых величину Анализ и моделирование случайной компоненты можно вычислить с помощью модели как порядка Анализ и моделирование случайной компоненты, так и порядка Анализ и моделирование случайной компоненты. Тогда величина

Анализ и моделирование случайной компоненты

имеет распределение Анализ и моделирование случайной компоненты с Анализ и моделирование случайной компоненты степенями свободы. В формуле (7.24) Анализ и моделирование случайной компоненты сумма квадратов остатков для модели порядка Анализ и моделирование случайной компоненты — сумма квадратов остатков для модели порядка Анализ и моделирование случайной компоненты, причем рассматриваются остатки, для которых определена модель порядка Анализ и моделирование случайной компоненты. Если при уровне доверия Анализ и моделирование случайной компоненты то модель порядка Анализ и моделирование случайной компоненты даст существенно лучшую аппроксимацию остатков Анализ и моделирование случайной компоненты по сравнению с моделью порядка Анализ и моделирование случайной компоненты. В противном случае, т.е. при Анализ и моделирование случайной компоненты гипотеза Анализ и моделирование случайной компоненты о том, что авторегрессионая модель порядка Анализ и моделирование случайной компоненты даст лучшие результаты, отвергается, следовательно, авторегрессионая модель порядка Анализ и моделирование случайной компоненты является лучшей.

Рассмотренный критерий Барлетта является асимптотическим, поэтому для небольших выборок, содержащих менее 20 наблюдений, вычисляется финальная ошибка прогноза (ФОП). Процедура определения порядка авторегрессионой модели состоит в переборе авторегрессий различных порядков и выборе той из них, для которой финальная ошибка прогнозирования минимальна, т.е.

Анализ и моделирование случайной компоненты

Анализ и моделирование случайной компоненты — верхний предел порядка рассматриваемых моделей авторегрессии.

Построение авторегрессионых моделей для коротких динамических рядов. Динамические ряды экономических показателей предприятий и отраслей в основном содержат менее 20 наблюдений. Поэтому в оценке коэффициентов авторегрессий необходимо учитывать отклонения, возникающие вследствие несоответствия между объемом информации для данного динамического ряда и требуемой оценкой параметров модели. Продемонстрируем сказанное для авторегрессии первого порядка:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Метод наименьших квадратов приводит к оценке

Анализ и моделирование случайной компоненты

Л. Гурвиц изучил распределение Анализ и моделирование случайной компоненты и показал существование систематической ошибки в малых выборках. Когда процесс Анализ и моделирование случайной компоненты рассматривается как стационарный и начальное значение Анализ и моделирование случайной компоненты — как случайное, когда Анализ и моделирование случайной компоненты мало, а Анализ и моделирование случайной компоненты велико, тогда математическое ожидание оценки а определяется формулой

Анализ и моделирование случайной компоненты

При неограниченном возрастании Анализ и моделирование случайной компоненты систематическая ошибка Анализ и моделирование случайной компоненты бесконечно мала относительно средней квадратичной ошибки, равной Анализ и моделирование случайной компоненты. Для динамических рядов, содержащих около 20 уровней, она достигает примерно 10 % истинной величины.

Чтобы хорошо оценить свойства обычных методов (например, метода наименьших квадратов), когда аналитический подход затруднителен, приходится прибегать к изучению экспериментальных результатов. Исходя из известной авторегрессионой модели, достаточно сформировать некоторое число искусственных динамических рядов с одними и темы же вероятностными характеристиками и найти оценки для каждого из них, предполагая, что в действительности мы имеем дело лишь с различными реализациями одного динамического ряда. Тогда для каждой оценки мы будем располагать столькими значениями, сколько имеется динамических рядов. Эмпирическое распределение этих значений дает приближение к теоретическому закону, который мы хотели установить. Этот метод называется методом Монте — Карло, он был применен для изучения распределения оценки Анализ и моделирование случайной компоненты.

Изучение искусственных динамических рядов допускает также оценку статистических методов, связанных с методом наименьших квадратов. Асимптотическая теория обосновывает применение обычных формул для вычисления дисперсий оценок и установления критериев и доверительных интервалов. Но эти формулы применимы строго лишь для больших выборок. Поэтому важно установить, ведут ли они к заметным ошибкам для выборок, которые обычно изучаются в эконометрии. Установлено, что для малых выборок Анализ и моделирование случайной компоненты дисперсия Анализ и моделирование случайной компоненты дает в среднем достаточно точную оценку дисперсии Анализ и моделирование случайной компоненты. Этот вывод говорит о том, что применение методов обычной регрессии к авторегрессионым моделям не влечет за собой серьезной ошибки, если ошибки Анализ и моделирование случайной компоненты неавтокоррелированы.

Некоторые другие методы построения авторегрессионых моделей. Оценивать параметры авторегрессионой модели, как отмечалось выше, можно методом наименьших квадратов. Точность модели повышается, если коэффициенты определены на основе минимизации выражения

Анализ и моделирование случайной компоненты

в котором уровням динамического ряда придают веса, причем больший вес соответствует последним наблюдениям, в наибольшей мере влияющим на последующие значения показателя.

Коэффициенты авторегрессионой модели можно находить путем минимизации коэффициентов автокорреляции случайных величин Анализ и моделирование случайной компоненты, т.е. минимизируя функцию

Анализ и моделирование случайной компоненты
Анализ и моделирование случайной компоненты

Приравнивая нулю частные производные по каждому коэффициенту Анализ и моделирование случайной компоненты функции Анализ и моделирование случайной компоненты получаем систему уравнений второй степени, которая даже при небольшом числе неизвестных решается со значительными трудностями.

Построение авторегрессионых моделей можно осуществить с помощью робастных методов. Робастной оценкой считается такая оценка, статистические свойства которой остаются достаточно хорошими при несоответствии наблюдений динамического ряда некоторым теоретическим предположениям. Согласно такому подходу, коэффициенты авторегрессионой модели определяют, минимизируя выражение

Анализ и моделирование случайной компоненты

где Анализ и моделирование случайной компоненты — общая функция потерь. Эта функция вводится вследствие отклонения уровней динамического ряда от теоретических значений. Параметр Анализ и моделирование случайной компоненты вводится для масштабирования этих отклонений. Если параметры авторегрессионой модели определяются по методу наименьших квадратов, то Анализ и моделирование случайной компоненты — квадратичная функция.

Дифференцируя выражение (7.25) по параметрам Анализ и моделирование случайной компоненты, получаем систему нелинейных уравнений

Анализ и моделирование случайной компоненты

где Анализ и моделирование случайной компоненты — производная функции потерь.

Параметр масштабирования определяется из уравнения

Анализ и моделирование случайной компоненты

где Анализ и моделирование случайной компоненты — константа, которой придаются различные значения в зависимости от вида функции потерь. Решение системы (7.26) осуществляется методом последовательных приближений.

Авторегрессионые модели строят также методом адаптивной фильтрации. Суть его состоит в непрерывном пошаговом уточнении параметров модели, т.е. в поиске такого набора весов для корректировки параметров, который бы минимизировал квадрат ошибки прогноза. Поэтому авторегрессионую модель представляют в виде

Анализ и моделирование случайной компоненты

и параметры для начального приближения определяют, решая систему Юла-Уокера (7.16). Корректировку параметров в модели (7.27) осуществляют методом наискорейшего спуска, который определяет величину шага вдоль градиента в сторону убывания минимизируемой функции — квадрата ошибки прогноза, т.е. вдоль

Анализ и моделирование случайной компоненты

Где Анализ и моделирование случайной компоненты — вектор коэффициентов модели (7.27); Анализ и моделирование случайной компоненты — вектор уровней динамического ряда. Шаг в сторону убывания квадрата ошибки прогноза состоит в измерении вектора Анализ и моделирование случайной компоненты по формуле

Анализ и моделирование случайной компоненты

где индекс Анализ и моделирование случайной компоненты показывает итерацию, для которой имеются прогнозируемое и фактическое значения показателя. Следовательно, может быть определена ошибка Анализ и моделирование случайной компоненты, а Анализ и моделирование случайной компоненты — следующая итерация. Величина Анализ и моделирование случайной компоненты— вес, с которым учитывается поправка к вектору коэффициентов метода. Теоретически необходимое и достаточное условие сходимости метода наискорейшего спуска — это условие Анализ и моделирование случайной компоненты, которое является слишком общим.

Поэтому чрезмерное увеличение Анализ и моделирование случайной компоненты может привести к тому, что какое-либо из значений весов пересечет свой минимум и вынуждено будет к нему возвращаться. А это способствует увеличению ошибки при недостаточном числе итераций. Из практического применения этого метода следует, что для каждого значения Анализ и моделирование случайной компоненты существует оптимальное число итераций, и наоборот. Это значит, что величина Анализ и моделирование случайной компоненты тесно связана с числом уровней динамического ряда и числом итераций.

Пример 7.7.

Рассмотрим динамический ряд, характеризующий поквартальный объем продаж фирмы с 1980 по 1990 г. Данные, из которых исключена сезонная компонента, приведены в табл. 7.10.

Анализ и моделирование случайной компоненты

Построим авторегрессионую модель. На первом этапе определим ее порядок. Из исходных данных следует, что нужно рассмотреть авторегрессию Анализ и моделирование случайной компоненты на Анализ и моделирование случайной компоненты . Для проверки этого вывода вычислим автокорреляционную функцию (7.22):

Анализ и моделирование случайной компоненты

Значения автокорреляционной функции сначала затухают: Анализ и моделирование случайной компоненты затем возрастают: Анализ и моделирование случайной компоненты снова начинают убывать: Анализ и моделирование случайной компоненты. Следовательно, автокорреляционная функция состоит из двух затухающих экспонент.

Порядок авторегрессионой модели попытаемся определить, используя критерий Барлетта. Для этого построим авторегрессионые модели первого, второго, третьего и четвертого порядков и рассмотрим, как изменяются суммы квадратов отклонений для этих моделей. Параметры авторегрессионой модели четвертого порядка определим из системы Юла-Уокера (7.16):

Анализ и моделирование случайной компоненты

Решая систему, находим

Анализ и моделирование случайной компоненты

Следовательно, авторегрессионая модель четвертого порядка имеет вид

Анализ и моделирование случайной компоненты

Коэффициенты авторегрессии второго порядка вычислим по формулам:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Тогда авторегрессионая модель второго порядка запишется уравнением

Анализ и моделирование случайной компоненты

Коэффициенты авторегрессии третьего порядка определим из рекуррентных формул:

Анализ и моделирование случайной компоненты

подставив которые в равенство (7.21), получим

Анализ и моделирование случайной компоненты

Марковский процесс авторегрессии первого порядка, как следует из равенства (3.89), имеет вид

Анализ и моделирование случайной компоненты

Вычислим далее для всех моделей суммы квадратов отклонений Анализ и моделирование случайной компоненты тех уровней, для которых Анализ и моделирование случайной компоненты можно вычислять с помощью модели четвертого порядка. Первое значение будет соответствовать первому кварталу 1981 г.

Сравнение моделей для простоты проведем для уровней 1990 г. (хотя нужно учитывать все уровни). Результаты приведены в табл. 7.11.

Анализ и моделирование случайной компоненты

Суммы квадратов отклонений значительно уменьшаются при добавлении Анализ и моделирование случайной компоненты. Поэтому сравним авторегрессионые модели третьего и четвертого порядков. Вычислим:

Анализ и моделирование случайной компоненты

Квантиль Анализ и моделирование случайной компоненты распределения для уровня значимости Анализ и моделирование случайной компоненты и Анализ и моделирование случайной компоненты степени свободы равен 3,841. Следовательно, Анализ и моделирование случайной компонентычто означает, что авторегрессионая модель четвертого порядка даст лучшую аппроксимацию остатков Анализ и моделирование случайной компоненты чем модель третьего порядка.

Таким образом, продемонстрирован процесс построения авторегрессионых моделей.

Эта лекция взята со страницы предмета «Эконометрика»

Предмет эконометрика: полный курс лекций

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Выбор функции тренда
Методы определения сезонных колебаний
Моделирование связных рядов динамики
Прогнозирование с помощью временных рядов