Арктангенс с примерами решения

Арктангенс

а) Арктангенс числа Арктангенс с примерами решения(обозначается Арктангенс с примерами решения) — это такое число Арктангенс с примерами решения тангенс которого равен а, т. е.

Арктангенс с примерами решения

б) Для любого Арктангенс с примерами решениясправедливо равенство

Арктангенс с примерами решения Арктангенс с примерами решения

в) Равенство

Арктангенс с примерами решения Арктангенс с примерами решения

является верным только при Арктангенс с примерами решения

г) Для любого Арктангенс с примерами решения справедливо равенство

Арктангенс с примерами решения Арктангенс с примерами решения

д) Таблица значений арктангенса:

Арктангенс с примерами решения

Примеры с решениями

Пример №51.

Вычислить:

Арктангенс с примерами решения

Решение:

1) Используя таблицу значений арксинуса, получаем

Арктангенс с примерами решения

2) С помощью таблицы значений арккосинуса находим

Арктангенс с примерами решения

3) Используя таблицу значений арктангенса, получаем

Арктангенс с примерами решения

Ответ.Арктангенс с примерами решения

Пример №55.

Вычислить:

Арктангенс с примерами решения

Решение:

1) Так как Арктангенс с примерами решения и Арктангенс с примерами решениято Арктангенс с примерами решения

2) Используя равенства Арктангенс с примерами решения и учитывая, что Арктангенс с примерами решения получаем.

Арктангенс с примерами решения

Ответ. Арктангенс с примерами решения

Пример №56.

Вычислить:

Арктангенс с примерами решения
Арктангенс с примерами решения

Решение:

1) Пусть Арктангенс с примерами решения Арктангенс с примерами решения Тогда Арктангенс с примерами решенияи Арктангенс с примерами решенияАрктангенс с примерами решения и Арктангенс с примерами решения Воспользуемся формулой

Арктангенс с примерами решения

Так как Арктангенс с примерами решения то

Арктангенс с примерами решения

Следовательно,Арктангенс с примерами решения

2) Пусть Арктангенс с примерами решения тогда Арктангенс с примерами решения и Арктангенс с примерами решенияИспользуя формулу Арктангенс с примерами решения получаем

Арктангенс с примерами решения

откуда Арктангенс с примерами решения так как Арктангенс с примерами решения

Ответ. Арктангенс с примерами решения

Пример №57.

Доказать, что

Арктангенс с примерами решения Арктангенс с примерами решения

Доказательство. Пусть Арктангенс с примерами решенияАрктангенс с примерами решенияЗаметим, что Арктангенс с примерами решения откуда Арктангенс с примерами решения и Арктангенс с примерами решения Далее, так как Арктангенс с примерами решения то Арктангенс с примерами решенияИтак, углы Арктангенс с примерами решения и Арктангенс с примерами решения заключены между Арктангенс с примерами решения и Арктангенс с примерами решения Поэтому для доказательства равенства Арктангенс с примерами решения достаточно показать, что какая-нибудь тригонометрическая функция (например, тангенс) каждого из этих углов имеет одно и то же значение. Докажем, что

Арктангенс с примерами решения Арктангенс с примерами решения

Так как Арктангенс с примерами решения то Арктангенс с примерами решенияПользуясь формулой Арктангенс с примерами решения и учитывая, что Арктангенс с примерами решенияи Арктангенс с примерами решения находим Арктангенс с примерами решения и Арктангенс с примерами решения Итак, равенство (12) является верным и, в силу сделанных выше замечаний, справедливо равенство (11).

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Арксинус с примером решения
Арккосинус с примерами решения
Числовые неравенства примеры с решением
Уравнение и его корни. Преобразование уравнений