Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

а) Геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения называется бесконечно убывающей.

б) Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения называется предел S последовательности Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения, где Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения— сумма первых n членов этой прогрессии. Эта сумма выражается формулой

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Примеры с решениями

Пример №31.

Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма этой прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192.

Решение:

Пусть Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения— первый член, Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — знаменатель, Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — сумма прогрессии, Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — сумма кубов ее членов. Тогда

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

откуда

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения так как Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Полученное уравнение, записанное в виде Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения имеет корни Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Первый корень следует отбросить, так как Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Следовательно, Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Ответ. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Пример №32.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее второй член, удвоенное произведение первого члена на четвертый и третий член являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью, равной Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения.

Решение:

Пусть Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — первый член, Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — знаменатель, Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тогда

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

По условию,

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решенияБесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Складывая уравнения (2) и (3), получаем Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решенияоткуда Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Подставляя выражение (4) для Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения\ в уравнение (2), получаем уравнение Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения которое можно преобразовать к виду Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения откуда Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения Так как Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения то Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения и из (4) находим Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решенияа из (1) следует, что Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Ответ. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Геометрическая прогрессия с примерами решения
Предел последовательности с примером решения
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла с примером решения
Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом с примером решения