Оглавление:
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
а) Геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию называется бесконечно убывающей.
б) Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется предел S последовательности , где — сумма первых n членов этой прогрессии. Эта сумма выражается формулой
Примеры с решениями
Пример №31.
Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма этой прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192.
Решение:
Пусть — первый член, — знаменатель, — сумма прогрессии, — сумма кубов ее членов. Тогда
откуда
так как Полученное уравнение, записанное в виде имеет корни Первый корень следует отбросить, так как Следовательно,
Ответ.
Пример №32.
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее второй член, удвоенное произведение первого члена на четвертый и третий член являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью, равной .
Решение:
Пусть — первый член, — знаменатель, — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тогда
По условию,
Складывая уравнения (2) и (3), получаем откуда
Подставляя выражение (4) для \ в уравнение (2), получаем уравнение которое можно преобразовать к виду откуда Так как то и из (4) находим а из (1) следует, что
Ответ.
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы: