Для связи в whatsapp +905441085890

Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков
Частные производные высших порядков
Частные производные высших порядков
Частные производные высших порядков
Частные производные высших порядков
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков. Дайте функцию f (x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если она действительно существует) иОн также называется частной производной первого порядка, и поскольку он является функцией независимых переменных x, y, он также может иметь частичную производную. Обозначается частными производными A ^ A / ~~или [xx, и 4y (w) Производные называются {xx, [xy, [yy, и частные производные 2-го порядка .Рассматривая эти частные производные, вы получаете все виды частных производных 3-го порядка. Определенная производная произвольного порядка также определяется для функции произвольного числа переменных. Определение 1.Порядок m-1, w = 1, 2.

Частные производные различных переменных называются смешанными частными производными. Людмила Фирмаль
  • Частичная производная (для любой независимой переменной) частичной производной от*называется частичной производной степени m. Частичная производная, полученная производной только с 1 переменной, называется чистой частичной производной. число различных частных производных с увеличением m явно возрастает, но мы видим, что при определенных допущениях многие из них совпадают.То есть смешанные частные производные для одной и той же переменной не зависят от порядка дифференцирования. Точнее, выполняются следующие теоремы. Теорема 1.Функция [(x, y) определяется с частными производными[x, [y, [xy и[yy]) в окрестности точек (x0, y0) и предполагает, что xy и x y смежны в этой точке.И затем.

Доказательство.Предположим, что функции f (x, y) определены в окрестности 6 точек (xn, yo) вместе с производными f*,*,} y,\ xy и 1yx, и что Ax и Ay фиксированы так, что они Ax2 \ Yy2 b2.As перед (см. раздел 20.1) каждый из символов A*, a^, point (x0, y°)** ‘указывает на приращение функции/для Аргументов x, y соответственно. Введем обозначение И покажи это Конечно. Точно так же (21.3) и (21.4)、 Вставь его сейчас же. (21.3) может быть переписан в следующем формате Поскольку в окрестности рассматриваемых точек(x0, y0) имеются частные производные/ A, то функции φ (x) дифференцируемы на отрезках, которые заканчиваются в точках x0 и x0 + Ax.Из теоремы конечного приращения Лагранжа、 Но φ ‘(х)= Форекс(х, У0 + Ау) -!Х(х, е), таким образом.

  • Примените ту же конечную инкрементную теорему снова, но относительно переменной y. Точно так же, если задать φ (y)= f (x0 + Ax, y) f (x0, y)、 Согласно (21.2), левая сторона уравнения (21.5) и (21.6) равны друг другу, что означает, что правая сторона равна. Если вы уравняете их с Dx = = = 0 и Dyerror = = 0 и уменьшите их до AxAy、 Благодаря непрерывности частной производной u [yy в точке x0,/ / o, переходим (21.7) к пределу в виде Dx-0, Dy-0, получаем(21.1). Ноль Примечания: 1.если функции η-переменной представляют собой последовательные N-е частные производные в определенной точке, то из доказанной индуктивным методом теоремы легко следует, что они не зависят от порядка производных. Это вытекает из того, что только порядок производных может быть передан друг другу с конечным числом шагов для каждого шага (т. е. 2 производных с одинаковым общим числом производных для каждого фиксированного аргумента).

Таким образом, с каждым шагом фактически учитывается изменение порядка дифференцирования функций только 2 переменных.То есть, в данном случае это будет состояние теореме, доказанной выше.Таким образом, в общем случае будет функцией 2-х переменных. Позвольте мне проиллюстрировать это на примере.Например, мы докажем это Согласно вышесказанному, в ряду Примечания 2.In выводя этот раздел, следует отметить, что на первый взгляд кажется, что доказанная теорема не очень важна.Согласно этой теореме, чтобы определить, выполняется ли равенство[xy-[yy 1], Необходимо проверить непрерывность функций [xy и 1yh, и поэтому, если вы уже знаете их, вы можете узнать, равны ли они в любой теореме.Тем не менее, теорема 1 все еще остается important.

Таким образом, мы видим, что все основные функции многих переменных являются смежными в области их определения. Людмила Фирмаль
  • In действительно, бывают случаи, когда о непрерывности функции можно судить на основании нескольких общих теорем, не прибегая к конкретному расчету и изучению самой функции. (см.§19.4).С другой стороны, поскольку частичная производная элементарной функции сама по себе элементарна, например, если частичная производная некоторой элементарной функции определена в окрестности точки, то эта производная непрерывна во всех точках указанной окрестности. Выпуск 18.Если функция f (x, y) определена вместе с ее частными производными, и и} X, Y, где xy и} окрестности точек (x0, y0), то частичное} докажет, что оно смежно с точками (x0, y0), и только тогда.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Производная по направлению. Дифференциалы высших порядков.
Пример исследования функций двух переменных. Первообразная и неопределенный интеграл.