Числовая функция и некоторые ее элементарные свойства

Определение. Числовой функцией действительной переменной (действительного аргумента) называется закономерность, ставящая в соответствие каждому числу (точке) , определенное действительное число (значение функции в точке х). Множество D называется областью определения /функции.

Обозначения для функции:

где — область значений функции . Иногда для области значений функции мы будем использовать обозначение .

Частным случаем функции является последовательность: .

Всюду в наших дальнейших рассмотрениях мы будем предполагать, что функция задана формулой, позволяющей по определенному алгоритму вычислять ее значения.

Множество точек плоскости называется графиком данной функции.

Функция называется убывающей (невозрастающей) па множестве D. если для всех выполняется неравенство . Аналогично, если для тех же значений переменной справедливо , то функция называется возрастающей (неубывающей). Возрастающая или убывающая функция называется монотонной.

Функция называется ограниченной, если множество ее значений Е ограничено.

Пусть — соответственно область определения и область значений функции . Эта функция называется биективной (биекцией) или взаимно однозначной, если различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции. Примером биекции может служить любая монотонная в своей области определения функция.

Пусть — биекция. Обратной к данной называется функция . которая каждому ставит в соответствие такое , что .

Изопределения обратной функции следует, что .

Заметим далее, что, если — точка графика функции . то точка принадлежит графику обратной функции и. таким образом, графики данной функции и обратной к ней симметричны относительно прямой .

Всякая монотонная в своей области определения функция обратима, поскольку, как уже отмечалось, она является биекцией.

Введем определение композиции функций или сложной функции. Рассмотрим две функции: , причем . Тогда функция называется композицией (функций или сложной функцией.