Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Числовая последовательность.

а) Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения, то говорят, что задана числовая последовательность (или просто последовательность)

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Кратко последовательность обозначают символом Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения или Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения, число Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения, называют членом или элементом этой последовательности, п — номером члена Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения.

б) Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве N; совокупность чиселЧисловая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения, Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения, называют множеством значений последовательности.

в) Последовательность обычно задается либо формулой, с помощью которой можно вычислить каждый ее член по соответствующему номеру, либо рекуррентной формулой, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим.

Арифметическая прогрессия.

а) Арифметическая прогрессия — последовательность Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения, определяемая рекуррентной формулой

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

где а и d — заданные числа; число d называется разностью арифметической прогрессии.

б) Для nго члена арифметической прогрессии справедлива формула

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

в) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т. е. при Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решениясправедливо равенство

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

г) Если рассматривается совокупность первых n членов арифметической прогрессии, т.е. числа Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения то сумма каждой пары членов, равноотстоящих от крайних членов этой совокупности, равна сумме крайних членов, т.е. при Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решениясправедливо равенство

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

д) Сумма Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Пример №24.

Найти сумму шести первых членов арифметической прогрессии, если сумма ее первого и пятого членов равна 26, а произведение второго и четвертого членов равно 160.

Решение:

По условиям задачи

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Исключая из этой системы Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения, где Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения получаем

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Если Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения, то Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения, а если Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения, то Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Искомую сумму Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения можно вычислить по формуле

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Ответ. Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Пример №25.

Найти отношение суммы первых 2n членов арифметической прогрессии к сумме следующих 2n ее членов, если сумма первых Зn членов равна сумме следующих n членов, а разность d прогрессии не равна нулю.

Решение:

По условию Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения откуда Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения Преобразуем это равенство, используя формулу Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Получим

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

или

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Искомое отношение можно записать так:

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Ответ. Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Пример №26.

Пусть Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения— арифметическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от нуля. Доказать, что

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Доказательство. Пусть Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения—левая часть равенства (1). Так как Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения при любом k, то

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения

Полагая в (2) k равным 1,2,…, n и складывая получаемые равенства, находим

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения (3)

В сумме (3) взаимно уничтожаются все слагаемые, кроме первого и последнего, откуда следует равенство (1).

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением
Логарифмы примеры с решением
Геометрическая прогрессия с примерами решения
Предел последовательности с примером решения