Для связи в whatsapp +905441085890

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Числовые характеристики дискретных случайных величин задана законом распределения вероятностей:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Тогда математическое ожидание Числовые характеристики дискретных случайных величин определяется равенством:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная величина (постоянная).

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

На числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. Поэтому его часто называют центром распределения.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Теорема 1. Математическое ожидание Числовые характеристики дискретных случайных величин числа появлений события Числовые характеристики дискретных случайных величин в Числовые характеристики дискретных случайных величин независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытания при условии, что в каждом испытании вероятность появления события Числовые характеристики дискретных случайных величин равна Числовые характеристики дискретных случайных величин:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Пример №1

Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Решение:

Число независимых испытаний Числовые характеристики дискретных случайных величин. В каждом испытании вероятность выигрыша Числовые характеристики дискретных случайных величин. Искомая математическое ожидание:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Пример №2

Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

Решение:

Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через Числовые характеристики дискретных случайных величин и на второй — через Числовые характеристики дискретных случайных величин. Запишем закон распределения числа очков для первой игральной кости

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Очевидно, что и Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Искомое математическое ожидание

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Переход от Числовые характеристики дискретных случайных величин к Числовые характеристики дискретных случайных величин а тем более к Числовые характеристики дискретных случайных величин и Числовые характеристики дискретных случайных величин позволяет лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Для этого используют начальные и центральные моменты.

Начальным моментом порядка Числовые характеристики дискретных случайных величин случайной величины Числовые характеристики дискретных случайных величин называют математическое ожидание величины Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Центральным моментом порядка к случайной величины Числовые характеристики дискретных случайных величин называют математическое ожидание величины Числовые характеристики дискретных случайных величин.

В частности,

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Поскольку математическое ожидание отклонения равно нулю, то для определения степени рассеивания случайной величины вокруг её математического ожидания выделяют среднее значение квадрата отклонения.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Теорема 2. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Числовые характеристики дискретных случайных величин и квадратом её математического ожидания:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины Числовые характеристики дискретных случайных величин равна 0: Числовые характеристики дискретных случайных величин.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: Числовые характеристики дискретных случайных величин.

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин: Числовые характеристики дискретных случайных величин.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин: Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Пример №3

Найти дисперсию случайных величин, зная закон её распределения:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Решение:

Найдем математическое ожидание случайной величины Числовые характеристики дискретных случайных величин:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Найдем математическое ожидание случайной величины Числовые характеристики дискретных случайных величин:

Числовые характеристики дискретных случайных величин
Числовые характеристики дискретных случайных величин

Найдем дисперсию:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Пример №4

Дискретная случайная величина Числовые характеристики дискретных случайных величин имеет только два возможных значения: Числовые характеристики дискретных случайных величин и Числовые характеристики дискретных случайных величин, причем Числовые характеристики дискретных случайных величин. Найти закон распределения величины Числовые характеристики дискретных случайных величин, если известно, что Числовые характеристики дискретных случайных величин и вероятность Числовые характеристики дискретных случайных величин того, что Числовые характеристики дискретных случайных величин примет значение Числовые характеристики дискретных случайных величин равна 0,6.

Решение:

Сумма вероятностей всех возможных значений Числовые характеристики дискретных случайных величин равна единице, поэтому вероятность Числовые характеристики дискретных случайных величин равна 1 — 0,6 = 0,4. Итак, закон распределения случайной величины Числовые характеристики дискретных случайных величин имеет вид:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Для отыскания Числовые характеристики дискретных случайных величин и Числовые характеристики дискретных случайных величин составим два уравнения. Учитывая, что по условию Числовые характеристики дискретных случайных величин, запишем первое из уравнений: Числовые характеристики дискретных случайных величин

Принимая во внимание, что по условию Числовые характеристики дискретных случайных величин, используя формулу Числовые характеристики дискретных случайных величин Числовые характеристики дискретных случайных величин, напишем второе уравнение: Числовые характеристики дискретных случайных величин, или Числовые характеристики дискретных случайных величин

Решив систему уравнений Числовые характеристики дискретных случайных величин и Числовые характеристики дискретных случайных величин, найдем два решения: 1) Числовые характеристики дискретных случайных величин и 2) Числовые характеристики дискретных случайных величин. По условию Числовые характеристики дискретных случайных величин, поэтому задаче удовлетворяет только первое решение. Таким образом, искомый закон распределения:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Теорема 3. Дисперсия числа появлений события Числовые характеристики дискретных случайных величин в Числовые характеристики дискретных случайных величин независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность Числовые характеристики дискретных случайных величин появления события постоянна, равна

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Средним квадратическим отклонением случайной величины Числовые характеристики дискретных случайных величин называют квадратный корень из дисперсии: Числовые характеристики дискретных случайных величин. Размерность Числовые характеристики дискретных случайных величин совпадает с размерностью Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Теорема 4. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Пример №5

Испытывается устройство, состоящее из трёх независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: Числовые характеристики дискретных случайных величин Числовые характеристики дискретных случайных величин. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа отказавших приборов.

Решение:

Вероятность того, что ни один прибор не откажет:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Вероятность того, что один прибор откажет:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Вероятность того, что два прибора откажут:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Вероятность того, что три прибора откажут:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Проверка: Числовые характеристики дискретных случайных величин

Запишем закон распределения числа отказавших приборов:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Найдем математическое ожидание случайной величины Числовые характеристики дискретных случайных величин:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Найдем математическое ожидание случайной величины Числовые характеристики дискретных случайных величин:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Найдем дисперсию:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Найдем среднее квадратичное отклонение числа отказавших приборов:

Числовые характеристики дискретных случайных величин

На этой странице размещён краткий курс лекций по теории вероятностей и математической статистике с теорией, формулами и примерами решения задач:

Теория вероятностей краткий курс для школьников и студентов

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
Случайная величина: определение и примеры с решением
Функция распределения случайной величины: свойства и пример с решением
Плотность и свойства распределения вероятностей непрерывной случайной величины