Для связи в whatsapp +905441085890

Числовые поля

Понятие числа прошло длинный путь исторического развития.

Одним из простейших числовых множеств является множество натуральных чисел Числовые поля

В нем всегда выполнимы два основных (прямых) алгебраических действия: сложение и умножение. Это означает, что, каковы бы ни были натуральные числа Числовые поля и Числовые поля, сумма их Числовые поля, а также произведение Числовые поля являются непременно натуральными числами.

При этом соблюдаются следующие пять законов:

1) коммутативный ( переместительный) закон сложения:

Числовые поля

2) ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

Числовые поля

3) коммутативный ( переместительный) закон умножения:

Числовые поля

4) ассоциативный (сочетательный) закон умножения:

Числовые поля

5) дистрибутивный ( распределительный) закон умножения относительно сложения:

Числовые поля

Вычитание и деление в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда.

Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, множество натуральных чисел нужно расширить путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате мы получим множество всех целых чисел (Числовые поля):

Числовые поля

Числовое множество, в котором всегда выполнимы сложение и умножение, подчиненные указанным выше пяти законам, а также вычитание, называется кольцом.

Таким образом, множество Числовые поля образует кольцо . Чтобы действие деления было всегда выполнимым , множество целых чисел расширили путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей, то есть чисел вида Числовые поля, где Числовые поля и Числовые поля — произвольные целые числа и Числовые поля. В результате такого расширения мы получаем множество всех рациональных чисел. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной периодической дроби, поэтому рациональные числа — это числа, представимые в виде бесконечных периодических десятичных дробей.

Множество чисел, в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения, подчиненные пяти основным законам, а также действия вычитания и деления ( кроме деления на нуль), называется полем.

Множество рациональных чисел является простейшим числовым полем.

Числа, которые можно представить, в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными ( т. е. нерациональными).

Все рациональные и все иррациональные числа, взятые вместе, образуют множество действительных чисел ( Числовые поля ).

Множество Числовые поля образует поле. Заметьте, что множество иррациональных чисел поля не образует. Так, например, Числовые поля.

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение систем дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям с примером решения
Комплексные числа
Действия с комплексными числами в алгебраической форме