Для связи в whatsapp +905441085890

Числовые последовательности

Числовая последовательность

Под числовой последовательностью Числовые последовательности понимается функция

Числовые последовательности

заданная на множестве Числовые последовательности натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде Числовые последовательности или Числовые последовательности. Число Числовые последовательности называется первым членом (элементом) последовательности, Числовые последовательности — вторым, … , Числовые последовательности — общим или Числовые последовательности-м членом последовательности.

Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру Числовые последовательности, по ней можно сразу вычислить любой член последовательности. Так, равенства

Числовые последовательности

задают соответственно последовательности

Числовые последовательности

Последовательность Числовые последовательности называется ограниченной, если существует такое число Числовые последовательности, что для любого Числовые последовательности выполняется неравенство

Числовые последовательности

В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности Числовые последовательности и Числовые последовательности ограничены, a Числовые последовательности и Числовые последовательности — неограничены.

Последовательность Числовые последовательности называется возрастающей (неубывающей), если для любого Числовые последовательности выполняется неравенство Числовые последовательности Числовые последовательности. Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности Числовые последовательности, Числовые последовательности и Числовые последовательности монотонные, а Числовые последовательности — не монотонная.

Если все элементы последовательности Числовые последовательности равны одному и тому же числу Числовые последовательности, то ее называют постоянной.

Другой способ задания числовых последовательностей — рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент Числовые последовательности (первый член последовательности) и правило определения Числовые последовательности-го элемента по (Числовые последовательности — 1)-му:

Числовые последовательности

Таким образом, Числовые последовательности и т. д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих.

Предел числовой последовательности

Можно заметить, что члены последовательности Числовые последовательности неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность Числовые последовательности, Числовые последовательности стремится к пределу 1.

Число Числовые последовательности называется пределом последовательности Числовые последовательности, если для любого положительного числа Числовые последовательности найдется такое натуральное число Числовые последовательности, что при всех Числовые последовательности выполняется неравенство

Числовые последовательности

В этом случае пишут Числовые последовательности или Числовые последовательности и говорят, что последовательность Числовые последовательности (или переменная Числовые последовательности, пробегающая последовательность Числовые последовательности) имеет предел, равный числу Числовые последовательности (или Числовые последовательности стремится к Числовые последовательности). Говорят также, что последовательность Числовые последовательности сходится к Числовые последовательности.

Коротко определение предела можно записать так:

Числовые последовательности

Пример №15.1.

Доказать, что Числовые последовательности.

Решение:

По определению, число 1 будет пределом последовательности Числовые последовательности, если Числовые последовательности найдется натуральное число Числовые последовательности, такое, что для всех Числовые последовательности выполняется неравенство Числовые последовательности, т. е. Числовые последовательности Оно справедливо для всех Числовые последовательности, т. е. для всех Числовые последовательности, где Числовые последовательности — целая часть числа Числовые последовательности (целая часть числа Числовые последовательности, обозначаемая Числовые последовательности, есть наибольшее целое число, не превосходящее Числовые последовательности; так [3] = 3, [5,2] = 5).

Если Числовые последовательности, то в качестве Числовые последовательности можно взять Числовые последовательности.

Итак, Числовые последовательности указано соответствующее значение Числовые последовательности. Это и доказывает, что Числовые последовательности.

Заметим, что число Числовые последовательности зависит от Числовые последовательности. Так, если Числовые последовательности, то

Числовые последовательности

если Числовые последовательности, то

Числовые последовательности

Поэтому иногда записывают Числовые последовательности.

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.

Неравенство (15.2) равносильно неравенствам Числовые последовательности или Числовые последовательности, которые показывают, что элемент Числовые последовательности находится в Числовые последовательности-окрестности точки Числовые последовательности.

Числовые последовательности

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число Числовые последовательности называется пределом последовательности Числовые последовательности, если для любой Числовые последовательности-окрестности точки Числовые последовательности найдется натуральное число Числовые последовательности, что все значения Числовые последовательности, для которых Числовые последовательности, попадут в Числовые последовательности-окрестность точки Числовые последовательности (см. рис. 109).

Ясно, что чем меньше Числовые последовательности, тем больше число Числовые последовательности, но в любом случае внутри Числовые последовательности-окрестности точки Числовые последовательности находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Таковой является, например, последовательность Числовые последовательности (см. с. 128).

Постоянная последовательность Числовые последовательности имеет предел, равный числу Числовые последовательности, т. е. Числовые последовательности. Действительно, для Числовые последовательности при всех натуральных Числовые последовательности выполняется неравенство (15.2). Имеем Числовые последовательности Числовые последовательности.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Уравнения поверхности в пространстве
Уравнения плоскости в пространстве
Предел функции в точке
Односторонние пределы