Неравенства

Неравенство, в отличие от уравнения, вместо знака равенства содержит знаки неравенств Неравенства. Неравенства со знаками Неравенства и Неравенстваназываются строгими, со знаками Неравенства и Неравенстванестрогими.

Два неравенства Неравенства и Неравенства называются неравенствами одного знака, неравенства Неравенства и Неравенства — неравенствами противоположных знаков. Вместо двух неравенств Неравенства и Неравенства пишут Неравенства, это неравенство называется двойным.

Свойства неравенств

Неравенства

если Неравенства и Неравенства, то Неравенства т.е. при умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный;

6) неравенства одного знака можно почленно складывать, например, если Неравенства то Неравенства

7) неравенства противоположных знаков можно почленно вычитать, ставя знак того неравенства, из которого производится вычитание, например, если Неравенства и Неравенства, то Неравенства

8) неравенства одного знака с положительными членами можно почленно умножать, например, если Неравенства то Неравенства

9) обе части неравенства с положительными членами можно возводить в натуральную степень, например, если Неравенства, то Неравенства

Решением неравенства считается такое множество значений переменной, при котором каждое число этого множества превращает исходное неравенство в верное числовое неравенство.

Линейным называется неравенство вида Неравенства (или Неравенства;Неравенства;Неравенства), где Неравенства и Неравенства — числа.

Решение линейного неравенства:
1) если Неравенства или Неравенства

2) если Неравенства то Неравенства или Неравенства

Соответственно решаются и другие линейные неравенства.Здесь действует свойство 5.

Квадратичное неравенство — это неравенство вида: НеравенстваНеравенстваНеравенства

Если Неравенства и Неравенстваи Неравенства — корни уравнения Неравенства, то решением этого неравенства будут Неравенства если Неравенства, то Неравенства.

Другие квадратичные неравенства решаются аналогично. Например: НеравенстваНеравенстваНеравенстваи Неравенства— корни уравнения Неравенства тогда решение неравенства: Неравенства

Если уравнение Неравенстване имеет корней, то при Неравенства соответствующая парабола расположена над осью Неравенства, и Неравенства при всех Неравенства, т.е. Неравенства — решение неравенства Неравенства; при Неравенства парабола находится под осью Неравенства и Неравенствапри всех Неравенства, т.е. Неравенства — решение неравенства Неравенства.Все, что было сказано, удобно проиллюстрировать с помощью графиков:

Неравенства

и Неравенства — многочлены степеней Неравенстваи Неравенства, обычно решаются методом интервалов. Отметим, что неравенство Неравенстваравносильно неравенству Неравенства . Для того, чтобы решить неравенство Неравенстваметодом интервалов, нужно разложить многочлен Неравенствана множители:

Неравенства

затем найти все нули многочлена, т. е. значения Неравенства, которые обращают в Неравенства каждую скобку; отметить их на числовой оси и пользоваться таким правилом:
1) за крайней правой точкой всегда ставится Неравенства
2) после следующей точки знак меняется на Неравенстваесли степень соответствующей скобки нечетная; если степень четная — знак сохраняется;
3) каждый раз при переходе через отмеченную точку знак меняется, если степень скобки, относящейся к этой точке, нечетная, и не меняется, если степень четная.

Квадратичные неравенства также можно решать методом интервалов, если разложить квадратный трехчлен на множители: Неравенства, где Неравенства и Неравенства — корни уравнения Неравенства

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение логарифмических уравнений
Решение тригонометрических уравнений
Решение задач на неравенства
Неравенства с радикалами задачи с решением