Неравенство, в отличие от уравнения, вместо знака равенства содержит знаки неравенств 
. Неравенства со знаками 
и 
называются строгими, со знаками 
и 
— нестрогими.
Два неравенства 
и 
называются неравенствами одного знака, неравенства и 
— неравенствами противоположных знаков. Вместо двух неравенств 
и 
пишут 
, это неравенство называется двойным.
Свойства неравенств
если и 
, то 
т.е. при умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный;
6) неравенства одного знака можно почленно складывать, например, если 
то 
7) неравенства противоположных знаков можно почленно вычитать, ставя знак того неравенства, из которого производится вычитание, например, если и , то 
8) неравенства одного знака с положительными членами можно почленно умножать, например, если 
то 
9) обе части неравенства с положительными членами можно возводить в натуральную степень, например, если 
, то 
Решением неравенства считается такое множество значений переменной, при котором каждое число этого множества превращает исходное неравенство в верное числовое неравенство.
Линейным называется неравенство вида 
(или 
;
;
), где 
и 
— числа.
Решение линейного неравенства:
1) если 
или 
2) если 
то 
или 
Соответственно решаются и другие линейные неравенства.Здесь действует свойство 5.
Квадратичное неравенство — это неравенство вида: 
Если 
и 
и 
— корни уравнения 
, то решением этого неравенства будут 
если 
, то 
.
Другие квадратичные неравенства решаются аналогично. Например: 
и — корни уравнения 
тогда решение неравенства: 
Если уравнение 
не имеет корней, то при 
соответствующая парабола расположена над осью 
, и 
при всех 
, т.е. 
— решение неравенства ; при 
парабола находится под осью 
и 
при всех , т.е. — решение неравенства .Все, что было сказано, удобно проиллюстрировать с помощью графиков:
и 
— многочлены степеней 
и 
, обычно решаются методом интервалов. Отметим, что неравенство 
равносильно неравенству 
. Для того, чтобы решить неравенство 
методом интервалов, нужно разложить многочлен 
на множители:
затем найти все нули многочлена, т. е. значения , которые обращают в 
каждую скобку; отметить их на числовой оси и пользоваться таким правилом:
1) за крайней правой точкой всегда ставится 
2) после следующей точки знак меняется на 
если степень соответствующей скобки нечетная; если степень четная — знак сохраняется;
3) каждый раз при переходе через отмеченную точку знак меняется, если степень скобки, относящейся к этой точке, нечетная, и не меняется, если степень четная.
Квадратичные неравенства также можно решать методом интервалов, если разложить квадратный трехчлен на множители: 
, где и — корни уравнения 
Этот материал взят со страницы решения задач по математике:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Решение логарифмических уравнений |
| Решение тригонометрических уравнений |
| Решение задач на неравенства |
| Неравенства с радикалами задачи с решением |
