Курсовая работа К2
Даны уравнения движения точки в плоскости 
(
— в сантиметрах, 
— в секундах).
Определить уравнение траектории. Построить траекторию, найти положение точки на траектории в момент времени 
. Вычислить скорость и ускорение, а также касательное, нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории для . Изобразить векторы скорости и ускорения, а также касательного и нормального ускорений в заданный момент времени.
Решение
- Для определения траектории движения точки из заданных уравнений движения исключим время
.
Учитывая, что под знаком «синуса» и «косинуса» одинаковый угол, воспользуемся формулой
С этой целью из уравнений движения выразим в явном виде эти функции
Возведем в квадрат левые и правые части уравнений, затем их сложим. Окончательно получим уравнение траектории
которое является уравнением эллипса с полуосями 4 см; 3 см (прил. 4, рис. К1).
- Найдем положение точки на траектории при
.
Чтобы определить положение точки в какой-то момент времени, надо это время подставить в заданные уравнения движения. При
- Определяем скорость точки по проекциям на координатные оси
При
На рисунке 
и 
изображаем в масштабе 
с учетом знака проекций, при этом скорость точки должна быть направлена по касательной к траектории движения точки (см. прил. 4, рис. К1). 4. Определяем ускорение точки по проекциям на координатные оси.
При
Изображаем 
и 
на рис. К1 прил. 4 в масштабе
При определении векторов 
и 
графическим способом надо проекции этих векторов на оси 
и 
откладывать из точки 
в определенном масштабе, а затем на этих проекциях как на составляющих строить прямоугольники, диагонали которых и будут определять эти векторы (см. прил. 4, рис. К1).
- Определяем касательное и нормальное ускорения.
Касательное ускорение находим по формуле
При
Касательное ускорение направлено как и скорость по касательной к траектории. Касательная ось направляется по касательной к траектории движения точки в сторону положительного отсчета криволинейной координаты. Касательное ускорение получилось положительным. Это означает, что касательное ускорение направленно в ту же сторону, что и скорость , и точка совершает ускоренное движение
Нормальное ускорение направленно по нормали к траектории движения точки к центру кривизны этой траектории.
- Определяем радиус кривизны траектории в момент времени
Радиус кривизны 
откладываем от точки 
по нормали к траектории.
При этом находим положение центра кривизны траектории — точку 
. (см. прил. 4, рис. К1).
