Оглавление:
Пусть заданы два комплексных числа в тригонометрической форме: 
и 
. Над ними выполнимы следующие операции:
Умножение
Применим формулы сложения:
Получим, что
Итак, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Деление
Примем без вывода следующую формулу:
При делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Возведение в степень
Для возведения комплексного числа 
в степень 
используется формула Муавра: 
.
При возведении в степень комплексного числа в тригонометрической форме модуль числа нужно возвести в -ю степень, а аргумент умножить на .
Извлечение корня n-й степени
Корнем -й степени из числа 
называется такое комплексное число 
, что 
.
Корень -и степени из числа 
имеет ровно значений, которые находятся по формуле:
Для нахождения всех корней необходимо менять значения параметра 
, начиная с 
(первый корень 
), затем 
(второй корень 
) и т.д. до 
(-й корень 
).
Рассмотри, как выполняются операции над комплексными числами в тригонометрической форме на конкретных примерах.
Пример №43.2.
Для комплексных чисел 
найдите: 
.
Решение:
а) Согласно формуле (1) получим
б) Используя формулу (2), находим
в) Применяя формулу (3), находим
г) Для извлечения кубического корня из 
воспользуемся формулой (4):
где параметр будет принимать значения 0, 1 и 2 (поскольку число корней 3-й степени из числа имеет ровно 3 значения).
При 
При 
При 
Ответ:
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Понятие модуля и аргумента комплексного числа. |
| Тригонометрическая форма комплексного числа. |
| Показательная форма комплексного числа. |
| Действия над комплексными числами в показательной форме. |
