Оглавление:
Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством
Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:
Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 163).
Непосредственно из рисунка видно, что . Это соотношение называется неравенством треугольника.
Вычитание комплексных чисел
Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел и называется такое комплексное число , которое, будучи сложенным с , дает число , т. е. , если .
Если , , то из этого определения легко
получить :
Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 164).
Непосредственно из рисунка видно, что . Отметим, что
т. е. модуль разности, двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство определяет на комплексной плоскости множество точек , находящихся на расстоянии 1 от точки , т. е. окружность с центром в и радиусом 1.
Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
Действительно, . Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально путем перемножения двучленов и :
Например,
Заметим, что — действительное число.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:
В этом легко убедиться, используя определение (28.3).
Найдем произведение комплексных чисел и , заданных в тригонометрической форме:
т.е.
Мы показали, что при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.
Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть множителей и все они одинаковые, то
Формула (28.5) называется формулой Муавра.
Пример №28.1.
Найти .
Решение:
Запишем сначала число в тригонометрической форме:
По формуле Муавра имеем
Деление комплексных чисел
Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел и называется комплексное число , которое, будучи умноженным на , дает число , т. е. , если .
Если положить , то из равенства следует
Решая систему, найдем значения и :
Таким образом,
На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).
Пример №28.2.
Выполнить деление .
Решение:
Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид
При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.
Извлечение корней из комплексных чисел
Извлечение корня -й степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.
Корнем -й степени из комплексного числа называется комплексное число , удовлетворяющее равенству , т. е. , если .
Если положить , а , то, по определению корня и формуле Муавра, получаем
Отсюда имеем To есть и (арифметический корень).
Поэтому равенство принимает вид
Получим различных значений корня. При других значениях , в силу периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпадающие с уже найденными. Так, при имеем
Итак, для любого корень -й степени из числа имеет ровно различных значений.
Пример №28.3.
Найти значения
Решение:
а) Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме: . Стало быть,
При имеем
при имеем
при имеем
б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме:
Поэтому
При получаем , а при получаем . Таким образом, и .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Геометрическое изображение комплексных чисел |
Формы записи комплексных чисел |
Свойства неопределенного интеграла |
Метод непосредственного интегрирования |