Делимость целых чисел примеры с решением

Делимость целых чисел

а) Множество натуральных чисел обозначают буквой Делимость целых чисел, а множество целых чисел — буквой Делимость целых чисел. Если Делимость целых чисел — натуральное число, то пишут Делимость целых чисел, а если Делимость целых чисел — целое число, то пишут Делимость целых чисел.

Натуральное число Делимость целых чисел записывают так:

Делимость целых чисел

или в виде суммы

Делимость целых чисел

где Делимость целых чисел— цифры соответствующих разрядов.

б) Если Делимость целых чисел — остаток от деления натурального числа Делимость целых чисел на натуральное число Делимость целых чисел, то

Делимость целых чисел

гдеДелимость целых чисел может принимать одно из значений Делимость целых чисел; Делимость целых чисел — целое неотрицательное число.

В том случае, когда Делимость целых чисел, говорят, что Делимость целых чисел делится на Делимость целых чисел.

в) Если Делимость целых чисел — остаток от деления натурального числа Делимость целых чисел на натуральное число Делимость целых чисел, то:

— остаток от деления на Делимость целых чисел числа Делимость целых чисел, где Делимость целых чисел, равен остатку от деления на Делимость целых чисел числа Делимость целых чисел;

— остаток от деления на Делимость целых чисел числа Делимость целых чисел, где Делимость целых чисел, равен остатку от деления на Делимость целых чисел числа Делимость целых чисел.

г) Если Делимость целых чисел и Делимость целых чисел — остатки от деления на натуральное число Делимость целых чисел натуральных чиселДелимость целых чисел и Делимость целых чисел соответственно, то остатки от деления на Делимость целых чисел чисел Делимость целых чисел и Делимость целых чисел совпадают с остатками от деления на Делимость целых чисел чисел Делимость целых чисел и Делимость целых чисел соответственно.

д) Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, полученное из данного отбрасыванием всех цифр, кроме двух последних, делится на 4.

е) Натуральное число делится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (на 9).

Пример №3.

Доказать, что числоДелимость целых чисел делится на 6 при любом натуральном числе Делимость целых чисел.

Доказательство. Эту задачу можно решить, применив метод математической индукции. Приведем другой способ решения. Заметим, что натуральное число делится на 6 тогда и только тогда, когда на 6 делится число Делимость целых чисел, гдеДелимость целых чисел— целое число. В частности, число Делимость целых чисел делится на 6, если число Делимость целых чисел делится на 6. Но Делимость целых чисел — произведение трех последовательных натуральных чисел, из которых одно делится на 3 и по крайней мере одно делится на 2. Поэтому число Делимость целых чисел делится на 6, откуда следует, что число Делимость целых чисел также делится на 6.

Пример №4.

Найти последнюю цифру числа Делимость целых чисел.

Решение:

Последняя цифра у числа Делимость целых чисел такая же, как и у числаДелимость целых чисел. Выпишем последовательные степени двойки:

Делимость целых чисел

Отсюда следует, что последние цифры этих чисел повторяются через 4. Поэтому последняя цифра у числа Делимость целых чисел такая же, как у числа Делимость целых чисел, где Делимость целых чисел — одно из чисел Делимость целых чисел а разность Делимость целых чисел кратна четырем. Так как Делимость целых чисел где 280 делится на 4, то последняя цифра числа Делимость целых чисел — восьмерка Делимость целых чисел.

Замечание. Если рассматривать последовательные натуральные степени числа 3 (или числа 7), то можно заметить, что последние цифры получаемых чисел повторяются через 4. Поэтому последняя цифра у числа Делимость целых чисел такая же, как у числа Делимость целых чисел, т.е. девятка, так как Делимость целых чисел

Аналогично, последняя цифра числа Делимость целых чисел — семерка, так как Делимость целых чисел

Пример №5.

Доказать, что число Делимость целых чиселделится на Делимость целых чисел при любых целых Делимость целых чисели Делимость целых чисел.

Доказательство. Если числа Делимость целых чисел и Делимость целых чисел— оба четные или оба нечетные, то Делимость целых чисел— четное число, и поэтому Делимость целых чиселделится на Делимость целых чиселЕсли же одно из чисел Делимость целых чисел — четное, а другое — нечетное, то Делимость целых чисел — четное число и поэтому Делимость целых чисел делится на Делимость целых чисел и, значит, делится на Делимость целых чисел.

Пример №6.

Найти остаток от деления числа Делимость целых чисел на Делимость целых чисел, если:

Делимость целых чисел

Решение:

1) Заметим, что если натуральное число Делимость целых чисел не делится на Делимость целых чисел, т. е. Делимость целых чисел где Делимость целых чисел то Делимость целых чисел где Делимость целых чисел. Поэтому остаток от деления на Делимость целых чисел числа Делимость целых чисел равен Делимость целых чисел, если Делимость целых чисел не делится на Делимость целых чисел. Числа Делимость целых чисел и Делимость целых чисел не делятся наДелимость целых чисел и, следовательно, остаток от деления на Делимость целых чисел каждого из чисел Делимость целых чисел Делимость целых чиселравен Делимость целых чисел, а остаток от деления на Делимость целых чисел числа Делимость целых чисел совпадает с остатком от деления на три числа Делимость целых чисел т.е. равен Делимость целых чисел.

2) Так как Делимость целых чисел а Делимость целых чисел то остаток от деления на Делимость целых чисел числа Делимость целых чисел совпадает с остатком от деления на Делимость целых чиселчисла Делимость целых чисел т. е. равен Делимость целых чисел , поскольку Делимость целых чисел

Ответ. Делимость целых чисел

Пример №7.

Доказать, что натуральное число

Делимость целых чисел

делится на Делимость целых чиселтогда и только тогда, когда на Делимость целых чисел делится сумма

Делимость целых чисел

т.е. сумма цифр этого числа, взятых с чередующимися знаками.

Доказательство. Остаток от деления на Делимость целых чисел чисел Делимость целых чисел, где Делимость целых чисел, равен Делимость целых чисел, так как Делимость целых чисел, а остаток от деления на Делимость целых чиселчисел Делимость целых чисел где Делимость целых чисел равен Делимость целых чисел, так как Делимость целых чисел, Делимость целых чисел а остаток от деления на Делимость целых чисел числа Делимость целых чисел равен Делимость целых чисел.

Итак, остаток от деления на Делимость целых чиселчисла Делимость целых чисел равен Делимость целых чисел.

Пример №8.

Доказать, что если число Делимость целых чисел не делится на Делимость целых чисел, то число Делимость целых чисел делится на Делимость целых чисел.

Доказательство. Пусть Делимость целых чисел— остаток от деления Делимость целых чисел на Делимость целых чисел. Так как Делимость целых чисел не делится на Делимость целых чисел, то Делимость целых чисел где Делимость целых чисел, Делимость целых чисел — одно из чисел 1, 2, 3, 4. Из равенства Делимость целых чисел где Делимость целых чисел следует, что остаток от деления Делимость целых чиселна Делимость целых чисел равен остатку от деления Делимость целых чиселна Делимость целых чисел. Так как Делимость целых чиселДелимость целых чиселДелимость целых чисел, то остаток от деления Делимость целых чисел на Делимость целых чисел при Делимость целых чисел равен Делимость целых чисел. Поэтому остаток от деления Делимость целых чисел на Делимость целых чисел равен нулю, т.е. число Делимость целых чисел делится на Делимость целых чисел, если Делимость целых чисел не делится на Делимость целых чисел.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными
Прямые и обратные теоремы примеры с решением
Метод математической индукции примеры с решением
Рациональные числа примеры с решением