Оглавление:
Делимость целых чисел
а) Множество натуральных чисел обозначают буквой 
, а множество целых чисел — буквой 
. Если 
— натуральное число, то пишут 
, а если 
— целое число, то пишут 
.
Натуральное число 
записывают так:
или в виде суммы
где 
— цифры соответствующих разрядов.
б) Если 
— остаток от деления натурального числа на натуральное число 
, то
где может принимать одно из значений 
; 
— целое неотрицательное число.
В том случае, когда 
, говорят, что делится на .
в) Если — остаток от деления натурального числа на натуральное число , то:
— остаток от деления на числа 
, где 
, равен остатку от деления на числа 
;
— остаток от деления на числа 
, где 
, равен остатку от деления на числа 
.
г) Если 
и 
— остатки от деления на натуральное число натуральных чисел и 
соответственно, то остатки от деления на чисел 
и 
совпадают с остатками от деления на чисел 
и 
соответственно.
д) Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, полученное из данного отбрасыванием всех цифр, кроме двух последних, делится на 4.
е) Натуральное число делится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (на 9).
Пример №3.
Доказать, что число
делится на 6 при любом натуральном числе .
Доказательство. Эту задачу можно решить, применив метод математической индукции. Приведем другой способ решения. Заметим, что натуральное число делится на 6 тогда и только тогда, когда на 6 делится число 
, где— целое число. В частности, число делится на 6, если число 
делится на 6. Но 
— произведение трех последовательных натуральных чисел, из которых одно делится на 3 и по крайней мере одно делится на 2. Поэтому число 
делится на 6, откуда следует, что число 
также делится на 6.
Пример №4.
Найти последнюю цифру числа 
.
Решение:
Последняя цифра у числа такая же, как и у числа
. Выпишем последовательные степени двойки:
Отсюда следует, что последние цифры этих чисел повторяются через 4. Поэтому последняя цифра у числа 
такая же, как у числа 
, где 
— одно из чисел 
а разность 
кратна четырем. Так как 
где 280 делится на 4, то последняя цифра числа 
— восьмерка 
.
Замечание. Если рассматривать последовательные натуральные степени числа 3 (или числа 7), то можно заметить, что последние цифры получаемых чисел повторяются через 4. Поэтому последняя цифра у числа 
такая же, как у числа 
, т.е. девятка, так как 
Аналогично, последняя цифра числа 
— семерка, так как 
Пример №5.
Доказать, что число 
делится на 
при любых целых 
и 
.
Доказательство. Если числа и — оба четные или оба нечетные, то 
— четное число, и поэтому 
делится на 
Если же одно из чисел 
— четное, а другое — нечетное, то 
— четное число и поэтому 
делится на 
и, значит, делится на .
Пример №6.
Найти остаток от деления числа 
на 
, если:
Решение:
1) Заметим, что если натуральное число 
не делится на 
, т. е. 
где 
то 
где 
. Поэтому остаток от деления на числа 
равен 
, если не делится на . Числа 
и 
не делятся на и, следовательно, остаток от деления на каждого из чисел 
равен , а остаток от деления на числа совпадает с остатком от деления на три числа 
т.е. равен .
2) Так как 
а 
то остаток от деления на 
числа совпадает с остатком от деления на числа 
т. е. равен 
, поскольку 
Ответ. 
Пример №7.
Доказать, что натуральное число
делится на 
тогда и только тогда, когда на делится сумма
т.е. сумма цифр этого числа, взятых с чередующимися знаками.
Доказательство. Остаток от деления на чисел 
, где 
, равен , так как 
, а остаток от деления на чисел 
где 
равен 
, так как 
, 
а остаток от деления на числа 
равен .
Итак, остаток от деления на числа равен 
.
Пример №8.
Доказать, что если число 
не делится на 
, то число 
делится на .
Доказательство. Пусть 
— остаток от деления на . Так как не делится на , то 
где 
, — одно из чисел 1, 2, 3, 4. Из равенства 
где 
следует, что остаток от деления 
на равен остатку от деления 
на . Так как 
, то остаток от деления на при 
равен . Поэтому остаток от деления 
на равен нулю, т.е. число делится на , если 
не делится на .
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными |
| Прямые и обратные теоремы примеры с решением |
| Метод математической индукции примеры с решением |
| Рациональные числа примеры с решением |
