Оглавление:
Дифференцирование сложной функции
- Дифференцирование сложных функций. В связи с этим u=±f (xi, x2,…Где, HT) — (pj(/p^2″* * ==F2 (^1>^2)’ * •>(12.21) ~^2’■• * >^ ) — Докажем, что при определенных условиях эта комплексная функция является дифференциальной функцией ее аргументов L, ti,—, tk-аргумента 6, t2, имеющего частный дифференциал указанной выше комплексной функции…, ТЗ представлен частным§4. Производные и дифференциал 477 Другие производные u=f (x\, x2,…по следующему уравнению, через частную производную (12.21) функции: di DC Ди DHH и dhg
постоянного тока DH2DC это ДГТ, это ДГТ, это Вашингтон. dt2di Ди компания DH2dt2 Di DH2DH2dt2 Di DHT DHT dt2 + Ди ЦТС/Ди Dx2 Dx2 Dx2 ДТК ДТК ДТК di DHT DHT dt^ Были доказаны следующие основные теоремы. А12. 11. Пусть функция (12.21) дифференцируется в точке t2°…… И тогда функция u=f(x lt x2,…соответствующая точка N (xi°, x2°, xm)…, x:>t), где, t2°, i=l, 2,…Тогда комплексная функция и= = f (xi, x2,…, HT), где Xi, x2,…XT определяется его отношением с M (12.21) дифференцируемым.Частичная производная этой комплексной функции в M определяется по формуле (12.22),
в которую включены все производные… „ DHG DH2 Взятые в точке N, все частные Людмила Фирмаль
производные функции (12.21) берутся по аргументам L, t2…а че берется в М. Д О К а з а т е л ь с т в о. приведем аргумент t\, t2… ТЗ на Л4(л°,°Т2…, tk°) любое приращение да, D/2,…, D / y не равно нулю одновременно. Эти приращения соответствуют приращению DH2, D x T функции(12.21)в точке M…Затем DHT соответствует приращению функции Di u-f (xj, x2,)…Функция u=f (xi, x2,…X, xm)предполагается дифференцируемым в точке N,и указанное приращение Di этой
функции может быть записано как D » =DHX+DH2+… +\h t+s^DHH+a2dh2+.. . DH±DH2DHT . . . +at\x t, где частный дифференциал равен—,—,. . . . —— Стрельба в точке Nr 0X1DH2DHT A0, Dx2 — >0,…, DHT — >0, когда функция равна нулю DHT=DH2=… «О,» о. подчеркнем, что в соотношении (12.23)DH1, DH2,…DHT-это выбранное приращение для аргументов этих функций: YES, D/2,•••, и соответствующее приращение для функции Dag (12.21). Вследствие
- Дифференцируемости функции (12.21) в точке M (A12) (A0, t2°,…, tk0) эти приращения DX^могут быть записаны в следующем формате: 478CH. 12. Функции некоторых переменных DH£= — ^D^+^L/2+… +^A f ft+0 (p), (12.24) ДТ±д t2dtk я=1,2,…, Теннесси , dxt DHG DHG » I , Где частные производные — — — -, -,. . . ,- — — — Взяты в точке M , ДТИ ot2dtk a p=P W i) 2+(A^) 3+… +(D^) 2. Подставив в правую часть выражения (12.23) (12.24), нужно убедиться, что приращение Au можно свести к виду Au=XiAZi-|-^2A^2H_+^ll^+o (p), (12.25) TDE (12.26) Таким образом,
доказательство теоремы совершенно иное, так как выражение а (12.25) устанавливает факт Дифференцируемости комплексной функции, а выражение (12.26) является частичным дифференцированием указанной комплексной функции над переменной. Если вы присвоите правой части(12.23) выражение (12.24): в дополнение к группе терминов A, ID^ — flga/GCh—f-L^A^b мы получим другую группу терминов. Необходимо убедиться, что все остальные группы терминов представляют значение o(p). Фактически, подставьте выражение (12.24) в выражение.(12.23), мы получаем Теннесси Теннесси A «=S^ — Ax’+4x Sa’- я = = я—\ t
n i-1 м м к С du G V I DHG-DHG — [Z j dt;i=i/=1k m \Z j DHG dt:/ / =1i=l K=a^i+S°(p)+X D%£ Людмила Фирмаль
* / = 1 t= ‘ i=i Сумма двух последних из приведенных выше выражений представляет собой значение o (p). На самом деле, количество DH^§4. Производные и дифференциал 479» Так, В*-К(П)=О(П). Кроме того, вели-ЛК занимает А.если i=l, то 2…, t, благодаря формуле (12.24), удовлетворяет неравенству|Ah (~|Для всех AG-Axi — >0, AH2^-0 он бесконечно мал… …, Axm — >0, а из Дифференцируемости и результирующей смежности в точке M функции (12.21) следует ее AHC Dx2…, Axm t стремится к нулю при p — >0. Поэтому^га; а£ = о (п). Перед теоремой-i=i Для котла. З а м е ч а н и Е. рассмотрим важный частный случай, когда функция (12.21) зависит от одного аргумента t… Где = производная—этой комплексной функции определяется как; dt
Формула du_di dxx по|Ди dx2di декстрометорфана ДТ ДТ ДТ ЦТС dx2dt декстрометорфана (12.27). Для доказательства теоремы Эйлера применим формулу (12.27). Функция u = f (xi, x2,…, HT) дано множеству{A!если это так, нам придется подождать и посмотреть…. Набор{A1}и точек для каждого числа t (tx\, tx2,…txm) принадлежит множеству M, уравнению tx2, для удержания…, txm)=t?f (xi, x2,…, ХТ). (12.28) т е р е м А12. 12(Тео Р им е г л ЕР о д Н О Р О Д н ы х ф у Н К Ц и Х). Если u = f(xi, x2,…в некоторых областях{Af}является дифференцируемой однородной функцией степени p, то каждая точка A4 (xi, x2,…, HT)области {A1}справедливое равенство — Ди-Икс, Ди -, Ди -, п икс Н — — — Н2+ * * * Н-НТ-Ри. (12.29)* DX^t / %2 Д О К а з а т е л ь с Т В О. пусть Af0 (xi°, x2°,…, x°t)в любой точке области.}. Рассмотрим
комплексную функцию u=f (xj, x2,)…, HT), где Xi=txi°(i=l, 2,…функция u=f (fxi°, tx2°, т. е., t, t)…(txqq, txqqq). При £ = 1 функция Xi=txt°дифференцируема, а функция u = f (xi, x2,…, ХТ). Инферно дифференцируется в соответствующей точке, а затем следует теореме 12.11 и этой аннотации к Тео- дю „ rehme мы можем вычислить производную от-сказал комплекс: 480CH. 12. Функции некоторых переменных * функция при t=l следует формуле (12.27). Так как — ^ — =X°>то du I dt / / =i di DHT Здесь производная — — — — берется в МО. С другой стороны, ох; ** (12.28) рассматриваемая комплексная функция может быть представлена в виде u=f (/xi°, tx2°, t x°m)=tPf (xi°, x2°, x°m). (12.31) следует из(12.31) it=ptp~~f (x°,•••>4) ‘ т. е. du~dt t=\ = Pf(4 4 ••• ‘x°m)=PU — Если мы сравним (12.30) с (12.32), то получим соотношение точек МО (12.29). Поскольку точка L10 является произвольной точкой области{L4}, теорема доказана.
Смотрите также:
| Непрерывность функции m переменных по одной переменной | Достаточные условия дифференцируемости |
| Частные производные высших порядков | Объем тела. |
