Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Пусть твердое тело под действием приложенных к нему внешних сил

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

вращается вокруг неподвижной оси Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси (рис. 200) с угловой скоростью Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

По теореме об изменении кинетического момента системы (формула (179)) имеем:

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Но согласно формуле (177) кинетический момент твердого тела относительно его оси вращения равен

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Подставляя это значение Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси в предыдущее уравнение, находим:

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Обозначим через Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси главный момент всех внешних сил, приложенных к твердому телу, относительно оси Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Принимая во внимание известные из кинематики зависимости, уравнение можно придать следующую форму:

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Произведении момента инерции тела относительно его оси вращения на угловое ускорение тела равно главному моменту всех приложенных телу внешних сил относительно той же оси.

Уравнение (182) называется дифференциальным уравнением вращательного движения твердого тела.

Так как момент инерции Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси тела относительно данной оси есть величина постоянная, то, как это видно из уравнения (182). при постоянном главном моменте Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси внешних сил угловое ускорение к есть величина постоянная. т. е. тело совершает равномерно переменное вращение.

Из того же уравнения следы, что если приложенный к телу главный момент Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси равен нулю, то угловое ускорение тела также равно нулю, т.е. тело либо остается в покое (если оно находилось в нем до того), либо вращается с постоянной угловой скоростью.

Нетрудно заметить, что но своему виду дифференциальное уравнение (.182) вращательного движения тела напоминает основное уравнение (106) динамики для материальной точки (или, что го же, для поступательного движения тела):

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

В уравнении (182) вместо силы Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси стоит главный момент внешних сил относительно оси вращения тела Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, вместо массы Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси — момент инерции Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси тела относительно оси вращения, вместо ускорения Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси — угловое ускорение Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Из сопоставления уравнений (182) и (106) видно, что момент инерции тела играет при его вращательном движении ту же роль, что и масса тела при поступательном движении. Так же как масса тела является мерой инертности тела при его поступательном движении, так и момент инерции тела относительно данной оси является мерой инертности тела при его вращательном движении вокруг этой оси.

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

При одном и том же вращающем моменте угловое ускорение тела будет тем меньше, чем больше момент инерции тела относительно оси вращения. Существенное отличие момента инерции тела or его массы заключается, однако, в том. что масса тела является для него величиной постоянной, тогда как момент инерции тела зависит не только от самой вращающейся массы, по и от распределения этой массы относительно оси вращения. Например, одну и ту же длинную палку значительно легче привести руками в быстрое вращение вокруг ее продольной оси (рис. 201,а), чем вокруг оси, перпендикулярной к ее длине (рис. 201,6). Объясняется это тем, что в первом случае момент инерции палки

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

значительно меньше, чем во втором. Поэтому, для сообщения палке одинакового углового ускорения в первом случае потребуется значительно меньший вращающий момент.

Колесо с тяжелым ободом и легкой втулкой будет обладать большим моментом инерции, чем колесо той же массы, но с тяжелой втулкой и легким ободом, так как а первом случае большая часть массы находится на большем расстоянии от оси вращения. А так как чем значительнее момент инерции тела, тем труднее изменить сто движение, то этим и пользуются в маховиках, служащих для выравнивания хода машин, делая их значительного диаметра и распределяя большую часть их массы по ободу.

Уравнение (182) позволяет решать для вращательного движения тела вокруг неподвижной оси обе основные задачи динамики, т.е. позволяет: 1) зная уравнение вращения тела

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

и момент инерции Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения, находить приложенный к телу главный момент сил

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

и, наоборот, 2) зная приложенные к телу внешние силы, момент инерции тола и начальные условия Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси и Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, находить как уравнение вращения тела, так и его угловую скорость и угловое ускорение.

Надо заметить, что если решение первой задачи, в общем случае, сводится к простому дифференцированию функции

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

то решение второй задачи методом интегрирования уравнения (182) может представлять значительные трудности. В общем случае, главный момент сил Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси может быть величиной переменной, зависящей не только от времени, но еще и от угла поворота и угловой скорости тела.

Пример задачи:

Для нахождения момента сил трения в подшипниках на вал насажен маховик весом Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси и ему сообщена угловая скорость Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Предоставленный самому себе маховик останавливается через Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси Радиус инерции маховика Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Определить момент трения, считая его постоянным.

Решение:

Согласно основному уравнению (182) для вращательного движения твердого тела

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Приложенный к маховику момент трения постоянен, поэтому вращение маховика будет равномерно переменным. Угловое ускорение равномерно переменного вращения определяется из формулы (89)

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

В нашем случае при

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

угловая скорость маховика

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

начальная же его угловая скорость

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Отсюда угловая ускорение маховика

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Знак минус показывает, что мы в данном случае имеем замедленное вращение.

Момент инерции маховика находим по формуле (141)

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Следовательно, искомый момент трения будет равен

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Знак момента трения говорит о том, чю он направлен в сторону, противоположную вращению маховика.

Пример задачи:

Шкив (рис. 202) получает вращение от другого ведущего! шкива при помощи ременной передачи. Ведущая ветвь ремня натянута с силой Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси ведомая ветвь с силой Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Вес шкива Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, его диаметр Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Определить угловое ускорение шкива, принимая во внимание трение вала в подшипниках. Диаметр вала Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси коэффициент трения Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Весом вала пренебречь. Шкив считать сплошным однородным цилиндром.

Решение:

Сила трения вала в подшипниках равна

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Главный момент Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси равен алгебраической сумме всех приложенных к шкиву внешних сил относительно оси Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси вращения тела:

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Момент инерции шкива находится но формуле (145)

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Зная приложенный к шкиву главный момент Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси и его момент инерции относительно оси вращения, легко найти по дифференциальному уравнению (182) для вращательного движения тела и его угловое ускорение

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Пример задачи:

Судовой винт приводится по вращение из состояния покоя приложенным к нему постоянным вращающим моментом Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент сил сопротивлений воды, действующих на винт,

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

где Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси— некоторый постоянный коэффициент. Найти, как изменяется со временем угловая скорость винта к ее предельное значение. Момент инерции винта относительно его оси вращении равен Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Решение:

Пишем дифференциальное уравнение (182) вращательного движения винта:

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

В нашем случае

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Следовательно,

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя его в соответствующих пределах, будем иметь:

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Отсюда находим

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Так как величина

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

убывает с течением времени, асимптотически приближаясь к нулю, то угловая скорость Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси винта возрастает, асимптотически приближаясь к своему предельному значению

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Теорема об изменении кинетического момента системы
Закон сохранения кинетического момента системы с примерами решения
Физический маятник с примерами решения
Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела