Дифференциалы высших порядков: определение и примеры с решением по высшей математике

Оглавление:

Дифференциалы высших порядков

Пусть Дифференциалы высших порядков дифференцируемая функция, а ее аргумент — независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функция ; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции Дифференциалы высших порядков называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается или .

Итак, по определению Дифференциалы высших порядков . Найдем выражение второго дифференциала функции .

Так как Дифференциалы высших порядков не зависит от , то при дифференцировании считаем постоянным:

т. е.

Здесь Дифференциалы высших порядков обозначает .

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего по-
рядка:

И, вообще, дифференциал Дифференциалы высших порядков -го порядка есть дифференциал от дифференциала (-1)-го порядка: .

Отсюда находим, что Дифференциалы высших порядков . В частности, при соответственно получаем:

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если Дифференциалы высших порядков — независимая переменная. Если же функцию , где — функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения Дифференциалы высших порядков , получаем:

т.е.

Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое Дифференциалы высших порядков .