Дифференцирование функции комплексного переменного с примерами по высшей математике

Оглавление:

Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эилера-Даламбера

Пусть однозначная функция Дифференцирование функции комплексного переменного определена в некоторой окрестности точки , включая и саму точку. Тогда предел

если он существует, называется производной функции Дифференцирование функции комплексного переменного в точке , а функция называется дифференцируемой в точке .

Подчеркнем, что в равенстве (74.4) Дифференцирование функции комплексного переменного любым образом стремится к нулю, т. е. точка может приближаться к точке но любому из бесконечного множества различных направлений (см. рис. 283) (в аналогичной ситуации для функции одного действительного переменного точка Дифференцирование функции комплексного переменного ; приближается к точке лишь по двум направлениям: слева и справа).

Из дифференцируемости функции Дифференцирование функции комплексного переменного в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке (отношение при может стремиться к конечному пределу Дифференцирование функции комплексного переменного лишь при условии, что и ). Обратное утверждение не имеет места.

При каких условиях функция Дифференцирование функции комплексного переменного будет дифференцируемой в данной точке?

Теорема 74.1. Если функция Дифференцирование функции комплексного переменного определена в некоторой окрестности точки , причем в этой точке действительные функции и дифференцируемы, то для дифференцируемости функции Дифференцирование функции комплексного переменного в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства

Равенства (74.5) называются условиями Эйлера-Даламбера (или условиями Коши-Римана).

Необходимость

Пусть функция Дифференцирование функции комплексного переменного дифференцируема в точке , тогда предел (74.4) существует и не зависит от пути, по которому . Можно считать, что точка Дифференцирование функции комплексного переменного приближается к точке по прямой, параллельной действительной оси (оси ), т. е. (рис. 284). Тогда

Если же точка Дифференцирование функции комплексного переменного приближается к точке по прямой, параллельной мнимой оси (оси ), то . В этом случае

Сравнив найденные пределы, получим Дифференцирование функции комплексного переменного .

Отсюда следует: Дифференцирование функции комплексного переменного .

Достаточность

Пусть теперь условия (74.5) выполняются. Докажем, что функция Дифференцирование функции комплексного переменного дифференцируема.

Так как функции Дифференцирование функции комплексного переменного и дифференцируемы в точке , то их полные приращения можно представить (см. (44.4)) в виде , , где и — бесконечно малые более высокого порядка, чем Дифференцирование функции комплексного переменного . Тогда

Заменяя в числителе правой части Дифференцирование функции комплексного переменного на , на согласно
условиям (74.5), получаем:

где

т.е.

а Дифференцирование функции комплексного переменного — бесконечно малая высшего порядка относительно . Отсюда следует, что существует. При этом .

С учетом условий Эйлера-Даламбера (74.5) производную дифференцируемой функции Дифференцирование функции комплексного переменного можно находить по формулам

Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке Дифференцирование функции комплексного переменного . Это означает, что если и дифференцируемы в некоторой точке комплексной плоскости, то верно следующее:

Дифференцирование функции комплексного переменного Если дифференцируема в точке , a дифференцируема в точке , то .

Дифференцирование функции комплексного переменного Если в некоторой точке функция дифференцируема и существует функция , дифференцируемая в точке , причем , то , где Дифференцирование функции комплексного переменного — функция, обратная функции .

Приведем без доказательства теорему о дифференцируемости основных элементарных функций комплексного переменного: функции Дифференцирование функции комплексного переменного дифференцируемы в любой точке комплексной плоскости; функции и также дифференцируемы в любой точке плоскости, кроме точек Дифференцирование функции комплексного переменного и () соответственно; для функций , в окрестности каждой точки можно выделить однозначную ветвь, которая является дифференцируемой в точке Дифференцирование функции комплексного переменного функцией.