Для связи в whatsapp +905441085890

Динамика свободных колебаний в физике

Динамика свободных колебаний

Колебания тела под действием сил упругости. Уравнение колебательного движения тела под действием силы упругости Динамика свободных колебаний в физике (рис. 54) может быть получено с учётом второго закона Ньютона Динамика свободных колебаний в физике и закона Гука Динамика свободных колебаний в физике, где Динамика свободных колебаний в физике — масса шарика, Динамика свободных колебаний в физике — ускорение, приобретаемое шариком под действием силы упругости, Динамика свободных колебаний в физике — коэффициент жёсткости пружины, Динамика свободных колебаний в физике — смещение тела от положения равновесия (оба уравнения записаны в проекции на горизонтальную ось Динамика свободных колебаний в физике). Приравнивая правые части этих уравнений и учитывая, что ускорение Динамика свободных колебаний в физике — это вторая производная от координаты Динамика свободных колебаний в физике (смещения), получим:

Динамика свободных колебаний в физике
(1.54)

Это дифференциальное уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости: Вторая производная координаты по времени (ускорение тела) прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Колебания математического маятника. Для получения уравнения колебания математического маятника (см. рис. 55) необходимо разложить силу тяжести Динамика свободных колебаний в физике на нормальную Динамика свободных колебаний в физике (направленную вдоль нити) и тангенциальную Динамика свободных колебаний в физике (касательную к траектории движения шарика — окружности) составляющие. Нормальная составляющая силы тяжести Динамика свободных колебаний в физике и сила упругости нити Динамика свободных колебаний в физике в сумме сообщают маятнику центростремительное ускорение, не влияющее на величину скорости, а лишь меняющее её направление, а тангенциальная составляющая Динамика свободных колебаний в физике является той силой, которая возвращает шарик в положение равновесия и заставляет его совершать колебательные движения. Используя, как и в предыдущем случае, закон Ньютона для тангенциального ускорения Динамика свободных колебаний в физике и учитывая, что Динамика свободных колебаний в физике получим:
Динамика свободных колебаний в физике
Знак минус появился потому, что сила и угол отклонения от положения равновесия Динамика свободных колебаний в физике имеют противоположные знаки. Для малых углов отклонения Динамика свободных колебаний в физике. В свою очередь, Динамика свободных колебаний в физике, где Динамика свободных колебаний в физике — дуга Динамика свободных колебаний в физике — длина нити. Учитывая, что Динамика свободных колебаний в физике, окончательно получим:

Динамика свободных колебаний в физике
(1.55)

Вид уравнения (1.55) аналогичен уравнению (1.54). Только здесь параметрами системы являются длина нити и ускорение свободного падения, а не жёсткость пружины и масса шарика; роль координаты играет длина дуги (т. е. пройденный путь, как и в первом случае).
Свободные колебания описываются уравнениями одного вида (подчиняются одним и тем же законам) независимо от физической природы сил, вызывающих эти колебания.
Решением уравнений (1.54) и (1.55) является функция вида:

Динамика свободных колебаний в физике
(1.56)

Координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону косинуса или синуса, и, следовательно, эти колебания являются гармоническими (рис. 56).

Динамика свободных колебаний в физике
Рис. 56

В уравнении (1.56) Динамика свободных колебаний в физике — амплитуда колебания, Динамика свободных колебаний в физике — собственная циклическая (круговая) частота колебаний.
Циклическая частота и период свободных гармонических колебаний определяются свойствами системы. Так, для колебаний тела, прикреплённого к пружине, справедливы соотношения: Динамика свободных колебаний в физике
Собственная частота тем больше, чем больше жёсткость пружины или меньше масса груза, что вполне подтверждается опытом.
Для математического маятника выполняются равенства:
Динамика свободных колебаний в физике
Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским учёным Гюйгенсом (современником Ньютона).

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника и не зависит от его массы.

Следует особо обратить внимание на то, что гармонические колебания являются строго периодическими (т.к. подчиняются закону синуса или косинуса) и даже для математического маятника, являющегося идеализацией реального (физического) маятника, возможны только при малых углах колебания. Если углы отклонения велики, смещение груза не будет пропорционально углу отклонения (синусу угла) и ускорение не будет пропорционально смещению.
Скорость и ускорение тела, совершающего свободные колебания, также будут совершать гармонические колебания. Беря производную по времени функции (1.56), получим выражение для скорости:

Динамика свободных колебаний в физике
(1.57)

где Динамика свободных колебаний в физике — амплитуда скорости.
Аналогично выражение для ускорения Динамика свободных колебаний в физике получим, дифференцируя (1.57):
Динамика свободных колебаний в физике
где Динамика свободных колебаний в физике — амплитуда ускорения. Таким образом, амплитуда скорости гармонических колебаний пропорциональна частоте, а амплитуда ускорения — квадрату частоты колебания.

Эта лекция взята со страницы лекций по всем темам предмета физика:

Предмет физика

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Гармонические колебания в физике
Свободные колебания в физике
Фаза колебаний в физике
Затухающие колебания в физике