Оглавление:
Динамика точки переменной массы
- Объект переменной массы — это объект, масса которого изменяется в ходе движения, которое изменяется с отделением от него точек или соединением точек. После связывания точка становится точкой рассматриваемого тела, а после отделения мы предполагаем, что точка перестает взаимодействовать с телом и исключается из дальнейшего рассмотрения. Таким образом, точки соединения и разделения не возникают вновь и не исчезают, а только исключаются из введения или рассмотрения.
Предположим, что масса точек соединения и разделения в единицу времени мала по сравнению с массой тела, и процесс соединения и разделения точек происходит непрерывно. I. Основоположник динамики точек переменной массы. В. Мешерский характеризует этот процесс следующим образом. Предположим, что бесконечная масса частиц непрерывно присоединена к системе так, что скорость точек в системе изменяется до конечного значения в момент присоединения к системе. Динамика переменных масс с развитием реактивной техники приобрела особое значение.
При одинаковом порядке коэффициентов А, и В, по мере повышения порядка резонансных колебаний амплитуды их убывают. Людмила Фирмаль
Если можно пренебречь вращательными элементами движения тела по сравнению с кинетическими элементами поступательного движения, рассмотрим динамику точек переменной массы, а не динамику объекта переменной массы. При необходимости учета кинематического коэффициента поворота учитывается динамика тела переменной массы. Для точек переменной массы Основной закон динамики описывается следующим образом u. 1 где t-мгновенное значение массы точки масс. V-скорость точки массы, f-основной вектор внешних сил, действующих на точку переменной массы, f-сила реакции, равная следующей т. Где a-абсолютная скорость соединения или разделения частиц, vr-их относительная скорость, dm dt-2-е изменение массы.
Уравнение i, называемое уравнением Мещерского, формулируется следующим образом уравнение движения точки переменной массы принимает вид уравнения движения точки постоянной массы, если к силе, приложенной к точке, прибавить силу реакции. Примечание 2 особые случаи. Фундаментальный закон динамики точек, когда абсолютная скорость связанных частиц равна нулю Форма переменной массы является И — г. 3 Если относительная скорость частицы, подлежащей связыванию или разделению, равна нулю, то уравнение есть принимает форму Обратите внимание, что массы 3 и 4 являются переменными.
При решении задачи динамики объекта переменной массы применяются теорема об изменении импульса и теорема об изменении основных моментов движения, учитывающая изменение массы объекта и его момента инерции. Решение задач в этом разделе должно осуществляться в следующем порядке 1 из состояния задачи определите, касается ли она динамики точек или динамики тела переменной массы. 2 Если задача связана с динамикой переменной точки, используйте уравнение Мещерского для создания дифференциального уравнения движения переменной точки, а затем интегрируйте его для определения любой интегральной константы.
Если задача связана с динамикой объекта переменной массы, используйте теорему об изменении импульса и теорему об изменении главного момента импульса, чтобы получить дифференциальное уравнение движения. Интегрируйте их и определите любые константы интеграции. Задача 16. 8. Начальная масса ракеты, которая заправляется топливом, равна t0. Топливо горит с постоянной скоростью потока, поэтому dm dt — c, где t-мгновенная масса ракеты. Продукт сгорания выделяется с постоянной скоростью относительно ракеты, но, не обращая внимания на аэродинамическое сопротивление, можно видеть скорость v ракеты, движущейся вверх перпендикулярно к t в течение любого заданного времени.
Ускорение свободного падения g считается постоянным. Решение. Описывая уравнение Мещерского, рассматривая ракету как материальную точку переменной массы ДТВ — В проекции на вертикальную ось вверх, это позволяет a— поскольку сила тяжести и относительная скорость выхлопного газа направлены вниз. Dmldt — c, и поэтому m m0-ct, запишите Формулу 1 в виде — ст — М0-КТ г ЧВ когда вы интегрируетесь и помните, что vr постоянен Где u0-начальная скорость ракеты v-v0 gt-vr в w0-cf 1, в ма. Напоследок напиши Задача 16. 9.
В условиях предыдущей задачи находим максимальную высоту ракеты и время, необходимое для достижения этой высоты, предполагая, что ракета стартует с поверхности Земли с начальной скоростью, равной нулю. Предположим, что отношение массы начальной заправки топливом к стартовой массе ракеты Т9 равно а. Решение. Для удобства интегрирования перепишите формулу для скорости ракеты, полученную в вопросе 16. 8, в следующий вид. Где s-путь, по которому двигалась ракета, и by 0 рассматривается. Если мы интегрируем уравнение 1 Это хорошая идея, чтобы иметь список всех вариантов, доступных для вас. Наконец.
Уравнение 2 определяет закон движения ракеты на активном участке ее траектории если двигатель работает. Время полета активного участка орбиты — это весь запас топлива, а именно время горения c 1 a0, откуда 3 Последняя скорость ракеты в активном участке m 1 — mz1n 1-afjjj-gtia —, 1n 1 — — g 0, 4 И высота подъема Кроме того, в пассивной части орбиты ракета движется со скоростью vj, как свободное тело, брошенное вертикально upwards. So, скорость ракеты определяется следующим уравнением И дорога впереди.
Время ts, пока ракета не достигнет высшей точки, условие r 0, то есть, Отсюда рассмотрим 3 и 4 е 4 а Мос л 1п Максимальная высота подъема ракеты ss s g 4, s l — ln 1-a — 4 1 1- Нет. Есть. В1, о 5 Ф р 10 1 7Г — Т — — М 71 1- tg- Если вы откроете скобки и дадите аналогичный термин, вы найдете s, , a, ln l-a j ln l-a. Задание 16. 10. Ракета запускается вертикально вверх от поверхности Земли. Запустите массу ракеты от 0.
Если масса ракеты без топлива равна tk, то она определяет скорость ракеты при полном сгорании топлива. Сопротивление воздуха и гравитация к Земле были проигнорированы. Эффективная скорость истечения газа из сопла реактивного двигателя постоянна и равна vt. Решение. Эта проблема может быть решена с помощью ofk. Э. Впервые она была решена путем Циолковского.
Уравнение Мещерского в этом случае описывается следующим образом Где т-Масса ракеты, время является производной непрерывной функции w является dvldt-ускорение ракеты, dmldt q является 2-м массовый расход, а v-эффективная скорость истечения газа. Эффективная скорость означает тяга двигателя t при движении через пустоты состоит из силы, создаваемой реактивной силой f и давлением тазового потока на выходе из сопла Т СП Где s-площадь выходного сечения сопла, а p-давление потока газа на выходе из сопла. Если вы замените силу реакции на это значение Здесь vr-относительная скорость разлива газа. Эффективная скорость-это сумма в скобках. V.
Ось z направлена вертикально вверх, уравнение 1 проецируется на ось z с учетом направления скорости a Интеграл, получаем условие o, по const в — Прим. В Я С, 3 Где c-произвольное постоянное. Если t 0 m mq, то m 0 0, найти любую константу, подставив эти значения переменной в 3. С v, в В0. Если ввести значение c в выражение 3, то оно будет выглядеть так Это чиновник Циолковского. Дайте значение скорости в зависимости от количества топлива, сжигаемого на ракете. Предположим, что в какой-то момент времени t f топливо ракеты полностью выгорело. Указывая массу безтопливной ракеты через продажу, скорость ракеты до конца сгорания топлива согласно 4 равна m — m. Это будет 1n.
Отношение массы ракеты, содержащей топливо, к массе ракеты, содержащей топливо, называется числом Циолковского. Выражение b можно переписать следующим образом m k 1, 1nr. 7 Эта формула определяет максимальную скорость, которую получит реактивный двигатель при полном сгорании топлива. Соотношение 7 позволяет сделать следующие выводы максимальная скорость пропорциональна эффективной скорости выдоха продукта сгорания и натуральному логарифму числа Циолковского. Конечная скорость ракеты не зависит, медленно или быстро, от того, по каким законам происходит сгорание топлива.
- Однако чем больше ускорение ракеты, тем быстрее будет гореть топливо. Таким образом, чем быстрее выгорает топливо, тем быстрее ракета достигнет своей конечной скорости. Имейте в виду, что из-за прочности ракеты, аппаратуры управления и работоспособности оборудования для научных исследований, очень большое ускорение невозможно. Если внутри ракеты находится человек, то на ускорение накладывается еще большее ограничение.
Чтобы получить большую конечную скорость, нужно увеличить эффективную скорость истечения газов или увеличить число Циолковского. Используя формулу 7, вычисляем число Циолковского, чтобы достичь конечной скорости n 2400 м с, если эффективная скорость 9000 м с. Имеем з э9 2 00 и b3 76 42. 5. Итак, масса корпуса ракеты должна составлять 1 4 стартовой массы ракеты, 42. 5. So, топливо должно составлять 41, 5 42, 5 от стартовой массы ракеты. Такое соотношение корпуса ракеты и топлива не может быть достигнуто с помощью современных технологий.
При резонансе переменпэя амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает (в реальных задачах при учете силы сопротивления движению амплитуда является конечной). Людмила Фирмаль
С другой стороны, если учесть потери, которые нужно преодолеть без учета При расчете сопротивления воздуха и силы тяжести к Земле конечная скорость 9000 секунд М1 уменьшается и не превышает начальной космической скорости, необходимой для создания искусственного спутника Земли. Поэтому достижение первой космической скорости с помощью одноступенчатой ракеты с современными техническими средствами практически невозможно.
Возникающие при этом трудности могут быть преодолены применением многоступенчатых ракет. Задание 16. 11. Многоступенчатая ракета запускается вертикально вверх с поверхности Земли. Эффективная скорость Бракета j stage 1 Этап 2 подрак 1 Этап 1 вспомогательного кронштейна. Выпуск 16. 11. Для Выход раса из реактивного сопла постоянен, он одинаков для всех ступеней и равен О. После того, как топливо израсходовано на соответствующей ступени, оно отделяется от ракеты. Если мы знаем число Циолковского для каждой подвески, мы определяем конечную скорость после использования всех шагов, игнорируя притяжение к Земле и сопротивление воздуха.
Примечание многоступенчатая ракета будет состоять из полезной нагрузки или космического аппарата n Искусственный спутник Земли этап. Каждая ступень включает в себя двигатель, топливо и блок управления. Ракета-носитель представляет собой систему, которая содержит рабочую ступень и все холостые ступени и payloads. In в этом случае масса всех холостых ступеней и конечная нагрузка рассчитываются как одноступенчатая ракета, поэтому каждая подракета рассчитывается как одноступенчатая ракета по формуле, приведенной в предыдущем задании см. Диаграмму. Solution.
To определите скорость ракеты, после окончания работы двигателя в 1-й ступени примените формулу Циолковского, полученную в предыдущем выпуске 7. К1 Т 1л м ГК Где q 1-скорость ракеты в момент отрыва первой отработанной ступени, vb1-эффективная скорость оттока первой ступени, i-число Циолковского первого подскока. Аналогично находим скорость ракеты во время отделения Фазы 2 Тя в ЗТ v, я в zi ВА В z. Где vn-эффективная скорость высвобождения на 2-й ступени, а za-число Циолковского 2-й подзадачи.
Если вы продолжаете вычислять После отделения последней ступени найдите скорость космического аппарата ИИН р и n га v и n в ЗН- Если поместить его в соответствие с условием, что эффективный поток равен на всех стадиях, то предыдущее уравнение в вопросе 7 примет вид ВТТ vtlnzzt. .з ААВ-ля, 1 Где z z1za .. Цинк. Если число Циолковского всех под-ракет одинаково, то если представить общее значение в zt, то можно записать уравнение 1 в виде nk 1 1nr.
Итак, в данном случае конечная скорость пропорциональна количеству шагов. Предположим, что v 2400 м с, как и в предыдущей задаче, и найдем число Циолковского zt, которое должен иметь каждый субкет, чтобы космический аппарат получил 2-ю космическую скорость 11 200 м с. Для одноступенчатой ракеты существует z е11200 2400 sk, 8. Для 2-ступенчатой ракеты zt r11 200 2-2400 10. 4. Для 3-ступенчатой ракеты z e11200 3. 2400 4. 76. Если сопоставить эти значения числа Циолковского одноступенчатых и многоступенчатых ракет, то можно увидеть, что применение многоступенчатых ракет значительно сокращает число Циолковского и позволяет инженерам создавать реальные конструкции. Задание 16. 12.
Ракета массой m0 начинается вертикально с поверхности Земли. Относительная эффективная скорость потока газа v постоянна. Если ускорение ракеты на активном участке орбиты поддерживается постоянным, равным w bg, то мы находим закон изменения массы ракеты во времени, игнорируя сопротивление воздуха и принимая во внимание силу тяготения к Земле. Перегрузка-это отношение максимального ускорения объекта к ускорению силы тяжести. Solution. To создайте дифференциальное уравнение движения ракеты, используйте уравнение Мещерского. Тяготение к Земле можно представить формулой Где m-масса ракеты в любой момент времени, r-радиус Земли, ft-расстояние ракеты от поверхности Земли в данный момент времени.
Тогда уравнение Мещерского описывается в виде — й дисп ДМ м Сайди Р М ДТ З Где o-абсолютная скорость ракеты, Ф — проекция на вершину Сила реакции вертикальная, 0. Разгон ракеты в зависимости от условий П Таким образом, путь, пройденный ракетой от поверхности Земли, может быть найден интегрированием 2 при начальных условиях for 0, yo 0, zo 0. Затем из 2 —. Х Если ввести значения 2 и 3 в дифференциальное уравнение 1, то получится Или путем разделения переменных Когда вы интегрируете задайте начальные условия m-m0, f 0, чтобы определить интегральную постоянную. С v, МО-в Затем в 4 Это уравнение дает закон изменения массы ракеты с течением времени. Задача 16. 13.
Составьте уравнение движения снаряда под углом 60 градусов к горизонтали, перпендикулярно траектории, проецируемой по касательной. Найти закон изменения угла наклона 6 траектории относительно горизонта, предполагая, что тангенциальное ускорение ракеты является постоянным. Ракета массой м мг. Где m-переменная масса ракеты, а g-ускорение свободного падения. Сила реакции p и сила сопротивления воздуха q направлены по касательной к орбите. Решение.
Когда вы проецируете основное уравнение динамики на касательную и нормаль траектории см. Рисунок, вы получаете ж р-м-osinb Т Г О, потому что б Ноль 2 Где r-радиус кривизны траектории. Кривизна орбиты 1 id61 i u-l Р ДС jdsj 0 Ди В этом случае df dt 0 Учитывая это соотношение, запишем уравнения 1 и 2 движения ракеты в виде 3 Т ДФ cos0 Где p p t-сила реакции на единицу массы, q q m-сила сопротивления воздуха на единицу массы. Если dv dt w const, то Формула 4 легко интегрируется, что дает искомый закон изменения угла b. In фактически, это уравнение можно записать следующим образом Путем трансформации и интеграции Где t0-скорость ракеты в момент спуска с направляющей.
Это называется lntgy с х ЛНО-lnv0. Укрепите и наконец запишите си Уравнение 5 показывает, что изменение направления скорости ракеты на активном участке траектории зависит от отношения скорости в конце дуги к началу и отношения ускорения g w. Задача 16. 14. Тяжелая цепь, собранная в шар, расположена на краю горизонтального стола. Находим скорость конца цепи, свисающей со стола, предполагая, что в первый момент этот конец имеет длину 1, а его скорость равна 0. Решение.
Обозначим длину с помощью x, а массу подвешенной и подвижной частей цепи с помощью t. Эта масса непрерывно увеличивается за счет добавления элемента dm цепи, который находится в table. In в этом случае скорость соединительного элемента увеличивается от нуля до скорости движущейся части в момент joining. So, в этом вопросе можно воспользоваться формулой 3. Уравнение 3 в проекции на вертикальную ось x Вес единицы длины цепи, выраженной в y, равен f yx. Формула 1 Л Л В хз ГХ.
Это нелинейное уравнение 2-го порядка не содержит явно независимой переменной времени t, поэтому его можно уменьшить на 1 цифру. Наиболее полезно для новых неизвестных функций Я выпил немного. La, но для новых независимых переменных взять х Уравнение 2 сводится к линейному уравнению 1-го порядка. Представляет переменную и как произведение 2 функций. 4 И затем.
Смотрите также:
Предмет теоретическая механика
