Для связи в whatsapp +905441085890

Задача 1.91. Для изготовления четырех видов продукции предприятие использует три типа ресурсов.

Задача 1.91.

Для изготовления четырех видов продукции предприятие использует три типа ресурсов. Нормы расхода ресурсов каждого типа на единицу продукции, их наличие в распоряжении предприятия, а также цена единицы продукции приведены в табл. 1.45.

Требуется: а) сформулировать двойственную задачу и найти оптимальные планы прямой и двойственной задач; б) найти

интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменениям ресурсов каждого типа; в) выявить изменение общей стоимости изготовляемой продукции, определяемой оптимальным планом ее производства при уменьшении количества ресурса I типа на 60 ед. и увеличении количества ресурсов II и III типов соответственно на 120 и 160 ед. Провести анализ возможного изменения общей стоимости продукции как при изменении объемов каждого из ресурсов по отдельности, так и при их одновременном изменении в указанных размерах.

Решение:

а) Предположим, что изделия видов будут произведены соответственно в количествах . Для определения оптимального плана производства продукции следует найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции

при условиях

Припишем единице каждого из используемых ресурсов двойственную оценку, соответственно равную Тогда двойственная задача по отношению к задаче (73) — (75) состоит в определении минимального значения функции

при условиях

Как видно, задачи (73) — (75) и (76) —(78) образуют симметричную пару двойственных задач. Решение исходной задачи дает оптимальный план производства изделий видов , а решение двойственной — оптимальную систему двойственных оценок ресурсов, используемых для производства этих изделий. Чтобы найти решение этих задач, следует сначала отыскать решение какой-нибудь одной из них. Так как система ограничений задачи (73) — (75) содержит лишь неравенства вида , то сначала лучше найти решение этой задачи. Ее решение симплексным методом приведено в табл. 1.46.

Из этой таблицы видно, что оптимальным планом производства изделий является такой план, при котором изготовляется 95 изделий вида и 210 изделий вида . При данном плане производства общая стоимость изделий равна 2115 руб.

Из табл. 1.46 также видно, что оптимальным планом двойственной задачи является

б) Определим теперь интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменениям ресурсов каждого вида. Для этого найдем компоненты вектора

и определим, при каких значениях и они не отрицательны. Прежде чем это сделать, отметим, что матрица обратная матрице , составленной из компонент векторов и базиса, который определяет оптимальный план задачи (73)—(75), записана непосредственно на основании данных табл. 1.46, а именно: элементы матрицы взяты из столбцов векторов и , образующих первоначальный единичный базис.

Условие неотрицательности компонент указанного выше вектора приводит к следующей системе неравенств:

Очевидно, если

Это означает, что если количество ресурсов I типа будет увеличено или уменьшено в пределах 85 ед., то, несмотря на это, оптимальным планом двойственной задачи (76)—(78) остается

Далее, если

а если

Таким образом, если количество одного из типов ресурсов II или III принадлежит соответственно промежутку

а количество остальных ресурсов остается первоначальным, то двойственная задача (76) — (78) имеет один и тот же оптимальный план

Если и изменяются одновременно, то исследование устойчивости двойственных оценок несколько усложняется, поскольку в данном случае нужно найти многогранник решений системы линейных неравенств (79). Точки этого многогранника определяют количество ресурсов каждого типа, при которых двойственные оценки остаются прежними.

в) В данной задаче одновременно изменяется количество ресурсов всех трех типов. При этом количество ресурса I типа уменьшается на 60 ед, , а количество ресурсов II и III типов соответственно увеличиваются на 120 и 160 ед. . Следовательно, чтобы выяснить, остается ли оптимальным планом двойственной задачи (76)—(78) при указанном изменении количества ресурсов или нет, нужно проверить, удовлетворяют данные значения и системе неравенств (79) или нет. Для этого подставим в неравенства (79) вместо и их значения —60, 120 и 160:

Следовательно, несмотря на изменение объемов ресурсов в указанных размерах, оптимальным планом двойственной задачи останется

Данное заключение позволяет воспользоваться равенством (72) для определения приращения максимального значения функции (73) при указанных изменениях количества ресурсов. В этом случае

Это означает, что уменьшение количества ресурсов I типа на 60 ед. и увеличение количества ресурсов II и III типов соответственно на 120 и 160 ед. приведет к возможности построения такого плана производства продукции, реализация которого обеспечит выпуск изделий на 540 руб. больше, чем при плане производства продукции, обусловленном первоначальным количеством ресурсов. Уменьшение количества ресурсов I типа на 60 ед. не повлияет на изменение максимального значения функции, в то время как увеличение.количества ресурсов II и III типов на 120 и 160 ед. приведет к увеличению максимального значения функции соответственно на качество сырья L, II и III видов равно 140, 250 и 240 кг.

Эта задача взята со страницы решения задач по предмету «математическое программирование»:

Примеры решения задач по математическому программированию

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Задача 1.88. Найти решение двойственной пары задач.
Задача 1.89. Для задачи, состоящей в определении максимального значения функции
Задача 1.91. Для изготовления четырех видов продукции предприятие использует три типа ресурсов.
Задача 1.105. Найти максимальное значение функции