Пример №18.
Для изготовления изделий 
требуется сырье трех видов (I, II, III). Запасы сырья составляют 360, 192, 180 единиц соответственно. Для изготовления одного изделия 
требуется 18 ед. сырья 1,6 ед. сырья И, 5 ед. сырья III. На одно изделие 
затрачивается 15 ед. сырья I, 4 ед. сырья II, 3 ед. сырья III.
Затраты сырья на изделие 
: 12 ед. сырья I, 8 ед. сырья II, 3 ед. сырья III.
Стоимость изделий — 9, 10, 16 денежных единиц соответственно. Требуется максимизировать выпуск изделий в стоимостном выражении.
Математическая модель данной задачи такова:
где 
— неизвестные, обозначающие количество изделий .
Построим каноническую модель.
Решим данную ЗЛП симплекс-методом. Покажем только первую и последнюю симплекс-таблицы (табл. 4.5).
Оптимальное решение: нужно изготовить 8 ед. изделия и 20 ед. изделия , 
= 400.
Если рассматривать переменные 
как неиспользованные запасы сырья I, II, III соответственно, то из оптимального решения следует, что запасы сырья I и II полностью израсходованы, а сырья III остается 96 единиц.
Выясним, например, в каких пределах может изменяться запас сырья I, чтобы оптимальное решение осталось прежним. Обозначим изменение запаса сырья I через 
и запишем систему ограничений в виде:
Параметр присутствует только в правой части системы ограничений, поэтому при переходе от одной симплекс-таблицы к другой в сравнении с первоначальным вариантом меняться будут только столбцы правых частей. Правые части превратятся в линейные функции от . Коэффициенты 
и 
линейной функции 
при переходе от одной симплекс-таблицы к другой пересчитываются независимо друг от друга, поэтому столбец правых частей в последней симплекс-таблице примет вид 
(столбец записан в виде строки).
Числа 
на самом деле известны. Действительно, в первой симплекс-таблице столбец коэффициентов при , записанный как строка, таков: (1,0, 0). Он совпадает со столбцом коэффициентов базисной переменной первого уравнения (в данном случае — это переменная 
). Формулы пересчета одинаковы для всех элементов симплекс-таблицы. В любой из них коэффициенты при равны соответствующим элементам столбца для переменной . В частности, в оптимальной для исходной задачи симплекс-таблице
Сам столбец правых частей таков:
Чтобы найденное решение было оптимальным, достаточна его допустимость (все оценки свободных переменных положительны), т.е. правые части не могут быть меньше 0:
Отсюда:
Выясним, что происходит, если меняется один из коэффициентов целевой функции. Пусть, например, коэффициент при 
равен 10 + 
. Для удобства еще раз покажем таблицу с оптимальным решением (табл. 4.6).
Пересчитаем оценки 
по формуле
Так как 
входит только в выражение для 
, коэффициенты при в оценках для свободных переменных и в формуле для 
равны соответствующим коэффициентам первой строки (
— базисная переменная первого уравнения).
Чтобы найденное решение оставалось оптимальным, все оценки должны быть по-прежнему неотрицательны, то есть должны выполняться неравенства:
Отсюда
Если разрешить меняться коэффициенту 
то, учитывая, что в оптимальном решении переменная 
— базисная переменная второго уравнения, получаем такие значения оценок:
Чтобы все оценки оставались неотрицательными, должны выполняться неравенства:
Тогда
Стоимость 
может быть любой, ведь 
— свободная переменная, в оптимальном решении = 0, оценки 
не зависят от значения .
Выводы, построенные для приведенного примера, легко обобщить.
Далее без комментариев приводится решение ЗЛП, записанное в симплекс-таблицах.
Эта задача взята со страницы решения задач по предмету «линейное программирование»:
Решение задач по линейному программированию
Возможно эти страницы вам будут полезны:
