Для производства продукции трех видов и необходимы три различных вида сырья.

Оглавление:

Задача 2.67.

Для производства продукции трех видов и необходимы три различных вида сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в объеме, соответственно не большем чем 180, 210 и 244 кг. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида и цена единицы продукции данного вида приведены в табл. 2.44.

Определить план производства продукции, обеспечивающий максимальный выпуск ее в стоимостном выражении, и провести анализ устойчивости оптимального плана относительно возможных изменений объемов каждого из используемых видов сырья.

Решение:

Предположим, что изделий вида производится единиц, изделий вида единиц и изделий вида единиц. Тогда для определения оптимального плана производства нужно решить задачу, состоящую в максимизации целевой функции

при условиях

Решение задачи (83)—(85) симплексным методом приведено в табл. 2.45.

Из этой таблицы видно, что при оптимальном плане производства изделий должно быть изготовлено 82 изделия вида и 16 изделий вида . При данном плане общая стоимость изделий равна 1340 руб.

Проведем теперь анализ устойчивости найденного плана относительно возможных изменений сырья каждого вида. Начнем с сырья I вида. Предположим, что производство изделий ограничено не 180 кг сырья I вида, а кг, где — некоторый параметр, который в общем случае может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Таким образом, следует найти такие значения параметра , при которых задача, состоящая в определении максимального значения функции

при условиях

имеет оптимальный план

Найдем решение задачи параметрического программирования (86) —(88). При каждом значении параметра оптимальный план задачи (86) — (88) определяется из табл. 2.46, отличающейся от последней симплекс-таблицы (табл. 2.45) лишь элементами столбца вектора , которые обозначим через и . Указанные числа представляют собой компоненты разложения вектора по векторам, образующим последний базис, т. е. по векторам . Следовательно,

где — матрица, обратная матрице , составленной из первоначальных компонент векторов . Указанная матрица записана в симплекс-таблице (табл. 2.46) в столбцах векторов, образующих первоначальный единичный базис, т. е. в столбцах векторов . Таким образом,

Найденный вектор определяет оптимальный план задачи (86) —(88) для любого значения параметра 1), при котором значения , и положительны. Вместе с тем будет совпадать с оптимальным планом =(0; 82; 16) задачи (83) — (85) лишь при значении =0. Это означает, что всякое, хотя бы самое незначительное, изменение объемов сырья I вида приведет к изменению оптимального плана задачи (83) — (85). Например, если имеющиеся в распоряжении предприятия объемы сырья I вида увеличить на 8 ед., то оптимальным планом производства продукции является план = (0; 82+(5/8)-8; 16 —(1/4)-8) = = (0; 87; 14), согласно которому изготовляется 87 изделий вида и 14 изделий вида . При данном плане производства продукции общая стоимость изготовляемых изделий составит 1386 руб. т. е. возрастет на 46 руб.

Проведя аналогичные рассуждения, можно показать, что если объемы сырья 11 вида, выделенные предприятию, уменьшить не более чем на 80 кг. то оптимальным планом производства продукции останется план, согласно которому следует изготовить 82 изделия вида и 16 изделий вида . Таким образом, оптимальный план задачи (83)—(85) оказывается устойчивым относительно изменений в указанных выше объемах сырья II вида.

Наконец, аналогично можно показать, что оптимальный план = (0; 82; 16) задачи (83) — (85) не устойчив по отношению к изменениям объемов сырья III вида.

Мы провели анализ чувствительности оптимального плана задачи (83)—(85) к изменению объемов каждого из видов сырья по отдельности. Аналогично можно провести анализ чувствительности оптимального плана этой задачи при одновременном изменении объемов сырья нескольких видов.

Решение задачи, целевая функция и правые части ограничений которой содержат параметр. Используя описанные выше алгоритмы решения задач параметрического программирования, можно найти решение задачи, в которой от параметра t линейно зависят как коэффициенты целевой функции, так и свободные члены системы уравнений.

Задача 2.68.

Найти максимальное значение функции

при условиях

Решение:

Считая значение параметра равным числу 2 (число 2 взято произвольно), находим симплексным методом решение полученной задачи линейного программирования (табл. 2.47).

Из табл. 2.47 видно, что если

оптимальный план задачи. Таким он является и для тех значений параметра , при которых

а среди компонент вектора нет отрицательных чисел. Эти неравенства выполняются при . Сначала такие значения параметра и рассмотрим.

Найденный вектор является оптимальным планом задачи при

Итак, если

оптимальный план задачи, при котором

Если

вектор =(0; 15—7/;—9 + 5/; 0) не является планом задачи. Поэтому при <9/5 следует перейти к новой симплекс-таблице, что можно сделать, так как в строке вектора (табл. 2.47) имеется отрицательное число — 1/2. Рассматривая это число как разрешающий элемент, переходим к новой симплекс-таблице, для чего исключим из базиса вектор и введем вместо него вектор (табл. 2.48).

Из табл. 2.48 видно, что вектор

есть оптимальный план задачи для всех значений параметра (как отмечено выше, мы рассматриваем значения ), при которых

Следовательно, если

является оптимальным планом задачи, при котором

Рассмотрим теперь значения параметра > 15/7. При этих значениях вектор

уже не является оптимальным планом задачи, поскольку 15—7<0. Так как в строке вектора (табл. 2.48) нет отрицательных чисел, то при > 15/7 задача неразрешима.

Мы нашли решение задачи при изменении параметра от 14/9 до . Рассмотрим теперь значения параметра от до 14/9. Если < 14/9, то в последней строке табл. 2.48 имеется отрицательное число 18—28. Поэтому следует перейти к новому опорному плану, введя в базис вектор и исключив из него вектор (табл. 2.49).