Оглавление:
Достаточное условие экстремума
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности критической точки 
, в которой
и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка. Обозначим значения частных производных второго порядка в критической точке:
Тогда, наличие экстремума в критической точке можно определить по знаку выражения:
Если 
, то функция 
в критической точке 
имеет экстремум: максимум, если 
или минимум, если 
.
Если 
, то функция в критической точке экстремума не имеет; в случае 
вопрос о наличии экстремума требует дополнительного исследования.
При исследовании функции на экстремум следует иметь ввиду, что он может находиться как среди критических точек в которых частные производные равны нулю, так и среди точек, в которых частные производные не существуют.
Пример:
Требуется найти экстремум функции
► Найдем частные производные первого порядка:
Используя необходимое условие экстремума, найдем координаты критических точек:
Решив систему, получим
следовательно, 
(1;2) -единственная стационарная точка.
Найдем частные производные второго порядка:
Значения производных не зависят от 
и 
, поэтому вычислять их величину в стационарной точке нет необходимости. Найдем значение выражения 
:
Так как и , то функция 
имеет минимум в точке (1; 2):
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Экстремум функции двух переменных в математике |
| Необходимое условие экстремума двух переменных в математике |
| Наибольшее и наименьшее значения функции в математике |
| Первообразная и интеграл в математике |
