Два однородных цилиндра веса каждый положены на внутреннюю поверхность полого цилиндра

Задача №33.

Два однородных цилиндра веса каждый положены на внутреннюю поверхность полого цилиндра, как указано на чертеже (рис. 6). Они поддерживают третий цилиндр веса . Определить зависимость между указанными на чертеже углами и , если — центр большого полого цилиндра, — центр третьего цилиндра и и — соответственно центры первого и второго цилиндров, на которых покоится третий.

Решение:

Положение равновесия, симметричное относительно вертикали, которая проходит через центр полого цилиндра, определяется всего одним параметром. Заметим, что если выбрать систему осей с началом в центре полого цилиндра, направив

ось вертикально вверх, то координата центра тяжести всей системы определяется равенством

где — соответственно координаты центров тяжести нижних цилиндров, — координата центра тяжести верхнего цилиндра. В силу симметрии:

где — радиус полого цилиндра, — радиус нижних цилиндров, — радиус верхнего цилиндра. Тогда для ус получим

Приравнивая нулю приращение , получаем условие равновесия системы:

Нетрудно установить постоянную зависимость между параметрами и системы:

Эта зависимость сохраняется при всех возможных перемещениях системы. Дифференцируя последнее равенство, будем иметь

Исключая из уравнений (1) и (2) величину получим для положения равновесия

откуда

Таким же образом методы аналитической статики применяются и для решения задач о равновесии пространственных систем.

Задача взята со страницы подробного решения задач по всем темам теоретической механики:

Решение задач по теоретической механике

Возможно эти дополнительные задачи вам будут полезны:

Задача №31. В полый цилиндр радиуса , способный катиться без скольжения по горизонтальной плоскости, вложен другой цилиндр радиуса и веса (рис. 4). На малый цилиндр, кроме силы тяжести, действует еще пара сил, расположенная в плоскости чертежа, с моментом . На полый цилиндр намотана нить, которая на своем свободном конце несет груз веса . Полагая поверхности цилиндров достаточно шероховатыми (чтобы не было скольжения), найти положение равновесия системы и определить, при какой зависимости между данными силами это равновесие возможно.
Задача №32. Палочка длины и веса опирается концом на наклонную плоскость , образующую угол с горизонталью, а в точке лежит на опоре (рис. 5). Определить угол , который палочка образует с горизонталью при равновесии. Размеры и расположение палочки и опоры указаны на чертеже.
Задача №34. Бифилярный маятник представляет собой систему, состоящую из тяжелого однородного стержня веса , подвешенного на двух параллельных нитях и . Маятник переводится в новое положение и в этом положении удерживается в равновесии горизонтальной парой сил с моментом . Найти угол поворота стержня в положении равновесия системы, если (рис. 7).
Задача №35. Два одинаковых стержня и , имеющие каждый длину и вес , связаны между собой шарниром и опираются на неподвижный цилиндр радиуса с горизонтальной осью (рис. 28). Найти угол при равновесии системы и угол , который биссектриса этого угла составляет с вертикалью.