Оглавление:
Движение в неинерциальной системе отсчета
- Движение в пределах неинерциальной системы отсчета. До сих пор мы всегда думали, что это связано с инерциальной системой отсчета, учитывая движение механической системы. Например, только в инерциальной системе отсчёта форма функции Лагранжа одной частицы во внешнем поле L0 = _ и (39,1) Следовательно, уравнение движения дв о ди 171 дт (В этом разделе мы различаем величины по индексу 0 (Относится к инерциальным системам отсчета).
Далее, давайте посмотрим, как выглядит уравнение. Движение частиц в неинерциальной системе отсчета. Отправить При решении этой проблемы смысл все же остается принципом минимального действия, и его применимость не ограничивается выбором систем отсчета.
что соответствующее преобразование функции необходимо выполнить Людмила Фирмаль
С ним Уравнение силы и Лагранжа d d _ _ dL (qq дт ~ др ‘^) Тем не менее, формат функции Лагранжа не является (39.1) Оказывается, Это преобразование выполняется в два этапа. Сначала рассмотрим систему отсчета K ′, движущуюся по перемещению относительно инерциальной системы Kq со скоростью V (Ј).
Скорости частиц vo и v7 для систем Kq и K ‘связаны Взаимоотношения v0 = v ‘+ V (i). (39.3) Подстановка этого уравнения в (39.1) дает функцию Лагранжа Система К ‘ U = + mv’V + j V2-U Где V2 (t) является функцией времени. Поскольку это может быть выражено как полная производная другой функции по t, третий член в письменном выражении Это было опущено.
- Кроме того, v ‘= dr’ / dt, где r ‘- радиус-вектор частицы системы координат K. mV (t) V = raV ^ j- = y (mVg ‘) -wr’ ^. Вт ДТ ДТ ДД Подстановка этого в функцию Лагранжа и уменьшение общей производной по времени снова приводит к следующему: Lr _ _ m W (ты _ ^ (39,4) Где W = dV / dt — поступательное ускорение системы отсчета K.
Используя (39.4) для построения уравнения Лагранжа, м * х = — ^ — МВт- (39-5) Видно, что ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля с точки зрения его влияния на уравнение движения частиц. Сила, действующая в этом поле, равна произведению массы Частица, которая ускоряет W и направлена в противоположном направлении Му на стороне ускорения.
по отношению к инерциальной системе Людмила Фирмаль
Вот еще одна справочная система К. K ‘общий для системы, но вращается относительно Угловая скорость ft (Ј): K0 система K выполняет как поступательные, так и вращательные движения.
Добавленная скорость частиц v7 для системы K1 От скорости v для системы K и скорости [fir], вращающейся с системой K: v ‘= V + [fir] (Радиус-векторы системы «Cl C Particle» концерта совпадают). Подстановка этого уравнения в функцию Лагранжа (39.4) дает: L = r ^ ~ + mv [ftr] + y [ftr] 2-raWr-U. (39,6) Это общий вид функции Лагранжа частицы в любой неинерциальной системе отсчета.
Обратите внимание, что вращение системы отсчета проявляется в функции Лагранжа совершенно особой формы члена, скорость частиц которого линейна.
Чтобы вычислить производную уравнения Лагранжа, запишите полную производную dL = mv dv + ha dv [ftr] + mv [ft dr] + ra [ftr] [ft dr] — -Raw dr- ^ dr = mv dv + m dv [Qr] + + mdr [vЈi] + ra [[ftr] ft] dr-raw dr- ^ dr. Если вы собираете термины, которые включают DV и Dr, ^ = mv + ra [ftr], ^ = ra [vft] + ra [[ftr] ft] -raW- Подстановка этих формул в (39.2) дает желаемую формулу движение r a ^ = — ^ — raW + m [rft] + 2ra [vft] + m [ft [rft]]. (39,7) «Сила инерции» при вращении Справочная система состоит из трех частей.
Сила ha [rft] связана с неравномерным вращением, два других существуют и Вращается равномерно. Сила 2ga [vft] называется силой Кориолиса. В отличие от всех (недиссипативных) сил, рассмотренных ранее, это зависит от скорости частиц. Сила га [фут [рфт]] Это называется центрифугированием.
Он направлен к плоскости через r и ft перпендикулярно оси вращения (то есть направлению f3) и от оси. Максимальная центробежная сила Это равно mpQ2. Где р — расстояние частицы от оси вращения. Рассмотрим случай системы, которая вращается равномерно.
Координаты без ускорения перевода. Положить в (39.6) и (39.7) ft = const, W = 0, получить функцию Лагранжа L = r ^ ~ + mv [fir] + y [fir] 2-U (39,8) И уравнение движения ^ + 2 м [vft] + t [фут [rft]]. (39,9) Энергия частицы в этом случае также рассчитывается. замена p = ^ = rav + ha ftr Для E = PV-L, E _ t ^ _ _ ™ [dg] 2 + JJ (39,11) Обратите внимание на то, что скорость энергии линейна Член отсутствует.
Эффекты вращения системы отсчета уменьшены Добавляет член к энергии, который зависит только от координат частицы и пропорционален квадрату угловой скорости. Эта дополнительная потенциальная энергия- (га / 2) [фут] 2 называется центробежной силой.
Скорость частицы v для равномерно вращающейся системы отсчета равна Инерциальная система K q по реляционному выражению vo = v + [Pr]. (39.12) Следовательно, импульс p (см. (39.10)) частиц в системе K совпадает. Дает свой импульс p $ = ravo в системе K q. С ними Импульсный момент M0 = [gr0] M = [gr] также совпадает.
Энергия частиц в системах K и K q различна. заменить V (39.12) — (39.11) E = -mv0 [fir] + U = r ^ — + U-m [rv0p. Первые два слагаемых — это энергия E q системы K q. Ввод момента импульса в последний член, я = я 0-м р. (39.13) Эта формула определяет закон преобразования энергии При переходе на равномерно вращающуюся систему координат.
Хотя мы оценили для одной частицы, ясно, что вывод может быть обобщен непосредственно на случай системы. Частично это приводит к той же формуле (39.13). Задание 1. Найти отклонение тела свободного падения от вертикали из-за вращения земли. (Угловая скорость вращения считается малой.)
Решения. В гравитационном поле U = —mgr, g — вектор гравитационного ускорения. Игнорирование центробежной силы в уравнении (39.9), Получите уравнение движения в следующем виде, включая квадрат P. v = 2 [vfi] + g. Решите это уравнение непрерывным приближением.
Для этого v = v i + V2, где v i является решением уравнения v i = g, то есть v i = gt + vo (Vo — начальная скорость). Замените v = vi + V 2 на (1) и оставьте только v i справа, чтобы получить выражение для V2. v 2 = 2 [viQ] = 21 [гQ] + 2 [voH]. При интеграции вы получаете 2 секунды r = h + v0t + -b- [gft] + t2 [voH], (2) Где h — вектор начального положения частицы.
Выберите ось z вертикально вверх и ось x к полюсу вдоль меридиана. тогда ёх = ёу = 0? er = e \ ^ x = Q cos A, 0, y = 0, = Q sinA, Где A — широта (для ясности предполагается север). Если в (2) введено vo = 0, x = 0, y = -gQ cosA. о Подставляя здесь время падения t w y / 2h / g, мы наконец можем увидеть следующее. n 1/2 / 1> 3/2 x = 0, 2 / = — ^ — j gS2 cos A (Отрицательные значения у соответствуют отклонениям на восток).
2. Определить отклонение от плоскости объекта, сброшенного с земной поверхности с начальной скоростью vo Решения. Выберите плоскость xz так, чтобы на ней был vo. Начальная высота h = 0. Латеральное отклонение получается из (2) (задача 1). t3 Y = ^ e ^ x + t (Qce ^ Oz Qz ^ Oce)? Или подставьте время полета t w 2воз / г. Y = (^ ~ VqzQx-VqxQ, ^.
3. Определите влияние вращения Земли на малую вибрацию маятника (так называемый маятник Фуко). Решения. Если вертикальное смещение маятника игнорируется как небольшая вторичная величина, можно считать, что движение тела происходит в горизонтальной плоскости xy.
Пропущенные условия, включая Q2 Напишите уравнение движения в следующем формате x + a) 2x = 2Qzy, y + sv2 y = -2Qzx, Здесь si — частота колебаний маятника без учета вращения Земли. умножение Прибавив ко второму уравнению и первому уравнению r, вы получите одно уравнение Ј + 2zQzЈ, + ш2Ј, = 0 = X + iy для комплексных чисел.
Для Qz si форма решения этого уравнения r-i \ l z t (l i c v t, l-g с v t \ c = e z (возраст + A2e) Или _ o + x + iy = e z z (xo + guo), Где функции x0 (Ј), yo (t) задают траекторию маятника без вращения Земли. Поэтому эффект этого вращения сводится к вращению орбиты вокруг вертикали с угловой скоростью.
Смотрите также:
| Асимметрический волчок в физике | Уравнения Гамильтона в физике |
| Соприкосновение твердых тел в физике | Функция Рауса в физике |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
