Пусть в некоторой замкнутой области 
плоскости 
определена ограниченная функция 
, причём 
. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой — область ; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой ; боковая поверхность — цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси 
вдоль границы 
области . Такая фигура называется цилиндрическим телом (рисунок 10.1).
Объём цилиндрического тела можно вычислить приближённо, заменив его ступенчатой фигурой следующим образом.
1. Область произвольным образом разбивается на конечное число 
элементарных областей (ячеек) 
, площади которых обозначим соответственно 
.
Диаметром ячейки называют наибольшее расстояние между двумя точками на её границе и обозначают 
.
2. Выберем в каждой ячейке 
произвольную точку 
и вычислим в ней значение 
. Составим сумму вида:
Каждое слагаемое в сумме (10.1) вычисляет объём прямого цилиндра с основанием и высотой . Сумма (10.1) называется интегральной суммой для функции 
по области . Предел интегральной суммы (10.1) при 
называется двойным интегралом от функции по области :
В обозначении двойного интеграла — область интегрирования, — подынтегральная функция, 
— дифференциал площади, который можно заменить произведением дифференциалов независимых переменных 
.
Формула (10.2) позволяет вычислить объём цилиндрического тела при , в чём и заключается геометрический смысл двойного интеграла.
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
