Эффективность оценок

Эффективность оценок

• Оценка эффективности Как мы видели в §60, несмещенные оценки для параметра 0 с низкой дисперсией более желательны, чем другие оценки. Естественно поставить проблему нахождения оценки с минимальной дисперсией. Конкретный подрежим для решения этой проблемы обеспечивается неравенством Рао-Крамера.

• Пусть p (x \ 0) = p (x1, …, xn \ 0) — плотность, зависящая от параметра ©, и 0 = φ () = b ••• xn) для параметра 0. В соответствии с выборкой предположить, что ‘, …, xn не обязательно несмещены, укажите g (0) = M0 = ^ … Xp (х \ 9) дх. Предположим, что выполнено некоторое условие регулярности, при котором происходит интегрирование. Это можно отличить по параметру 0. В этом случае уравнение s (19) $ T (x) $ -d.v == g ‘<0). (20)

Математические ожидания (каждый пункт имеет центр доставки) / (0> = т ( «^ LQ: 0)) 4 (J.p0e; 0) (/ т {21) Называется Фишер информацией о семействе р (х \ 0). Людмила Фирмаль

Теорема 4. (Неравенство Рао-Крамера.) Если семейство плотности p (x \ 0) и оценочное значение 0 = φ (x) удовлетворяют условиям (19) и (20), неравенство Доказательство. Перепишите условия (19) и (20) в эквивалентном формате. $ F (23) Умножьте первое тождество (23) на g(0) и вычтите из второго. \ [Φ <> — 8 (0) 1 ^^ P (A ‘: °> dx в 8’ (6). (24) (24) Применим неравенство Коши-Буяковского, предполагая, что ) φ2 (A-) P (dc; 0) </:] «‘ J <p / (. V) p (x; 0) dx • Jφ | (l) p (x; 8) dx.

Вот оно: log ‘(0) i2 = [\ (φ () — g (0)) p (; c) < <(Φ (x) -g (0)) 2p (x; 0) <f * • J (■ p (x; 0) dx, Это эквивалентно неравенству (22). Замечание I. Теорема 4 справедлива, когда p (x \ 0) означает вероятность дискретного распределения, а интегрирование означает сумму. Замечание 2. Если тождество (19) можно снова различить по 0: G a »ioКР) d2 ах Далее вы можете описать информацию Фишера (21) в другом формате. / (9) = -M * «Y ^ p («; 6) c / *. (25)

На самом деле // =, p «= d’o n _ p ‘log n _ n «(p’ \ 2 в п 9 № п р п р) • Откуда 5 p «dx- \ (jL)% dx = -j (9), Как утверждал. Замечания 3. Из первой личности (23) M () ^ p * = 0, поэтому информацию Фишера (21) можно описать по-разному. Замечание 4. Если gn xn независимы, их плотность связи pn (xl xn; 0) является произведением одномерной плотности. г Pn (x … 0) = IIP (xk; 0).

В этом случае информация Фишера Jn (0) = M линейно зависит от n. / i (0) = /! /, (0), (26) Где / | (0) = ^ (° 01 V P (x> tydx — это информация Одно наблюдение xk, и (22) является неравенством вида (27 lU, (0) ‘W Уравнение (26) A, (0) -D («* y * WD (liss ^ i-a), \ t = lJi-1 L Подстановка не равна 5. Если оценка 0 несмещена, числитель 0, n, числитель в неравенствах (22) и (27) равен £ ‘(()) sis1.

• В условиях теоремы 4 неравенства (22) и (27) дают нижнюю оценку дисперсии оценки 0. Эта граница не будет достигнута нигде, но во многих важных случаях она является нижней границей дисперсии 0, асимптотически, как показано ниже. Пример 3. Предположим, что x [9 xn — выборка, не зависящая от нормального распределения, с параметрами (a, a) и aизвестна.

log /? (Х; а) = — I LT ~ q log p x-a y / M (I-a) 2 -log y 2l a, — = «then / P (a) = n ‘= = • Если предположить == x для оценки, то Dd = ^. То есть в этом случае уравнение достигается в (27). Далее мы всегда предполагаем, что условия теоремы 4 выполнены. Определение 2: Называется коэффициент эффективности оценки 9 e (6) = te’® ‘ D9 • / (8)

Эффективность Оценка 0 с (0) = 1 называется действительной. Людмила Фирмаль

Эти определения обычно применяются к объективным оценкам. Оценка х в Примере 1 является действительной. Если неравенство в (22) или (27) оценки равно, то эффективность оценки 0 — это отношение минимально возможной дисперсии к дисперсии этой оценки. Минимальная БД, e (Q) = ■. «DO Эффективность всегда удовлетворяет неравенству 0 ^^^ (b) ^ I.

Конечно, если вы нарушите условия теоремы 4, неравенства (22) и (27) могут не выполняться, и могут быть «суперэффективные» оценки 0, где дисперсия DO уменьшается до 0 быстрее, чем O Пример 4. Сделать x \ независимой выборкой из плотного распределения В этом случае условие (19) нарушается, и оценка 0 = = min xk имеет «суперэффективность».

Я <A <n Важным понятием в теории статистического оценивания является асимптотическая эффективность. Предположим, что условие теоремы 1 выполнено. Определение 3. Асимптотическая эффективность E0 (8L) оценки Я = = 0Я (* |, …. xn) независимой выборки xXt xn, называемой пределом ‘n-> oo nJ \ (0) D0n Если это существует.

Оценка 0 асимптотически называется * эффективной, если * o (by) = 1. Следовательно, если 0 является несмещенной оценкой асимптотической эффективности 1, ее дисперсия Если n большое, асимптотически [e0 (0) • nJx (E) Γ1- Другое определение асимптотической эффективности помогает в асимптотически нормальной оценке Оо. Определение 4. Когда оценочное значение i равно 0D — * — <x *

Если параметр асимптотически нормален к 0, Его асимптотическая эффективность называется отношением / | (V) a0 Другими словами. В этом случае для ожидаемого значения и дисперсии оценки 0 используйте ожидаемое значение и дисперсию подогнанного правила нормального распределения. Аналогично, если e0 (0) = 1, оценка называется асимптотически верной. В следующем разделе описывается понятие асимптотической эффективности асимптотически нормальных оценок.

Смотрите также:

Решение задач по теории вероятностей

Условные законы распределения	Методы нахождения оценок
Достаточные статистики	Определение доверительных интервалов

Если вам потребуется помощь по теории вероятности вы всегда можете написать мне в whatsapp.