Для связи в whatsapp +905441085890

Экстремум функции нескольких переменных

Оглавление:

Определение 1. Двумерной Экстремум функции нескольких переменных — окрестностью точки Экстремум функции нескольких переменных называется множество точек Экстремум функции нескольких переменных, принадлежащих открытому кругу радиуса Экстремум функции нескольких переменных с центром в точке Экстремум функции нескольких переменных и обозначается Экстремум функции нескольких переменных.

Если при фиксированном числе Экстремум функции нескольких переменных точка Экстремум функции нескольких переменных — окрестности (символика Экстремум функции нескольких переменных), то говорят, что точка Экстремум функции нескольких переменных близка к точке Экстремум функции нескольких переменных. Если точка Экстремум функции нескольких переменных, то говорят, что точка Экстремум функции нескольких переменных далека от точки Экстремум функции нескольких переменных.

Если точка Экстремум функции нескольких переменных принадлежит множеству Экстремум функции нескольких переменных вместе со своей Экстремум функции нескольких переменных — окрестностью Экстремум функции нескольких переменных, т.е. со всеми своими близкими точками Экстремум функции нескольких переменных, то она (точка Экстремум функции нескольких переменных) называется внутренней точкой множества Экстремум функции нескольких переменных.

Определение 2. Точка Экстремум функции нескольких переменных называется точкой локального максимума (минимума) функции Экстремум функции нескольких переменных, если для всех точек Экстремум функции нескольких переменных из области определения функции, близких к точке Экстремум функции нескольких переменных выполняется неравенство Экстремум функции нескольких переменных (соответственно, Экстремум функции нескольких переменных).

Значение функции Экстремум функции нескольких переменных в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции.

Если точка Экстремум функции нескольких переменных — точка локального максимума (минимума) функции Экстремум функции нескольких переменных, то около точки Экстремум функции нескольких переменных трехмерного пространства график функции Экстремум функции нескольких переменных имеет вид «шапочки» (соответственно, перевернутой «шапочки») см. рис.

Слова «максимум» и «минимум» можно заменить одним «экстремум». Аналогично определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.

Экстремум функции нескольких переменных может достигаться лишь в точках, лежащих внутри области ее определения, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль. Такие точки называются стационарными. Для функции двух переменных Экстремум функции нескольких переменных стационарные точки находятся из системы уравнений:

Экстремум функции нескольких переменных

Условия (1) являются необходимыми условиями существования экстремума.

Достаточные условия экстремума для функции Экстремум функции нескольких переменных выражаются с помощью определителя Экстремум функции нескольких переменных.

где Экстремум функции нескольких переменных, а именно:

1) если Экстремум функции нескольких переменных, то Экстремум функции нескольких переменных — точка экстремума: при Экстремум функции нескольких переменных (или Экстремум функции нескольких переменных) — точка максимума, при Экстремум функции нескольких переменных ( или Экстремум функции нескольких переменных) — точка минимума.

2) если Экстремум функции нескольких переменных, то в точке Экстремум функции нескольких переменных нет экстремума.

3) Если Экстремум функции нескольких переменных, то вопрос о наличии или отсутствии экстремума функции остается открытым (требуется дальнейшее исследование функции, например, по знаку приращения Экстремум функции нескольких переменных вблизи этой точки).

Пример №1

Найти экстремум функции Экстремум функции нескольких переменных.

Решение:

1) Находим частные производные первого порядка

Экстремум функции нескольких переменных

2) Воспользовавшись необходимыми условиями, находим стационарные точки

Экстремум функции нескольких переменных

Из первого уравнения системы получим Экстремум функции нескольких переменных. Таким образом, найдены две стационарные точки Экстремум функции нескольких переменных и Экстремум функции нескольких переменных.

3) Находим частные производные второго порядка и их значения в стационарных точках: Экстремум функции нескольких переменных.

В точке Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных и в точке Экстремум функции нескольких переменных нет экстремума.

В точке Экстремум функции нескольких переменных, Экстремум функции нескольких переменных и в точке Экстремум функции нескольких переменных функция имеет минимум. Величина этого минимума Экстремум функции нескольких переменных.

Пример №2

Исследовать функцию Экстремум функции нескольких переменных на экстремум.

Решение:

Здесь стационарной точкой является (0; 0). В этой точке Экстремум функции нескольких переменных и поэтому Экстремум функции нескольких переменных, т. е. теорема не применима. Но поскольку в точке (0; 0) будет Экстремум функции нескольких переменных, а во всех остальных точках Экстремум функции нескольких переменных, то ясно, что здесь мы имеем минимум. Разумеется, что не всегда дело обстоит так просто.

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Производные и дифференциалы высших порядков
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Условный экстремум
Производная в данном направлении. Градиент функции