Формула Ньютона-Лейбница

Рассмотрим функцию , непрерывную на отрезке . Пусть — какая либо первообразная на отрезке . Тогда имеет место формула, получившая название формула Ньютона-Лейбница: .

Формула Ньютона-Лейбница даёт удобный способ вычисления определенного интеграла.

Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке функции, нужно:

1. Найти неопределенный интеграл от функции , выбрав . Справа поставить вертикальную черту, рядом с которой указать верхнюю и нижнюю границы интегрирования.
2. В полученное выражение вместо следует подставить сначала верхнюю границу , поставить знак «минус», подставить в выражение вместо нижнюю границу .

Отметим, что неопределенный интеграл от непрерывной функции — множество функций, отличающихся друг от друга на число , а определенный интеграл от непрерывной функции — действительное число.

Рассмотрим пример вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пример №21.1.

Вычислите .

Решение:

Сначала найдем неопределенный интеграл от заданной функции, выбрав и добавив границы интегрирования: .

Подставим сначала верхнюю, потом нижнюю границы интегрирования:

Ответ:

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Понятие определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла.

Применение формулы Ньютона-Лейбница.

Интегрирование подстановкой (заменой переменной).