Для связи в whatsapp +905441085890

Формула Остроградского-Грина

Формула Остроградского-Грина

Связь между двойным интегралом по области Формула Остроградского-Грина и криволинейным интегралом по границе Формула Остроградского-Грина этой области устанавливает формула Остроградского Грина, которая широко применяется в математическом анализе.

Пусть на плоскости Формула Остроградского-Грина задана область Формула Остроградского-Грина, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не более чем в двух точках, т. е. область Формула Остроградского-Грина — правильная.

Теорема 56.2. Если функции Формула Остроградского-Грина и Формула Остроградского-Грина непрерывны вместе со своими частными производными Формула Остроградского-Грина и Формула Остроградского-Грина в области Формула Остроградского-Грина, то имеет место формула

Формула Остроградского-Грина

где Формула Остроградского-Грина — граница области Формула Остроградского-Грина и интегрирование вдоль кривой Формула Остроградского-Грина производится в положительном направлении (при движении вдоль кривой, область Формула Остроградского-Грина остается слева).

Формула Остроградского-Грина

Формула (56.8) называется формулой Остроградского-Грина.

Пусть Формула Остроградского-Грина — уравнение дуги Формула Остроградского-Грина, а Формула Остроградского-Грина — уравнение дуги Формула Остроградского-Грина (см. рис. 240). Найдем сначала Формула Остроградского-Грина. По правилу вычисления двойного интеграла, имеем:

Формула Остроградского-Грина

Или, согласно формуле (56.6),

Формула Остроградского-Грина

Аналогично доказывается, что

Формула Остроградского-Грина

Если из равенства (56.10) вычесть равенство (56.9), то получим формулу (56.8).

Замечание. Формула (56.8) справедлива и для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей.

Пример №56.3.

С помощью формулы Остроградского-Грина вычислить

Формула Остроградского-Грина

где Формула Остроградского-Грина — контур прямоугольника с вершинами Формула Остроградского-Грина Формула Остроградского-Грина.

Решение:

На рисунке 241 изображен контур интегрирования. Поскольку Формула Остроградского-Грина, по формуле (56.8) имеем:

Формула Остроградского-Грина
Формула Остроградского-Грина

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода
Вычисление криволинейного интеграла II рода
Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода