Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов

Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов

Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов. В этом и последующих разделах, рассматривая свойства некорректного интеграла, можно сказать, что интеграл функции определяется в виде[a, b) конечных или бесконечных интервалов, а интегрируемый Леман [a, z], A = r во всех отрезках. Другие предположения обсуждаются отдельно. Как предел нормального интеграла Римана, характеристики предела и определение неправильного интеграла, многие характеристики конкретного интеграла переносятся на неправильный Интеграл. Рассмотрим некоторые из них. 1°(Формула Ньютона-Лейбница неправильного интеграла).Если функция/непрерывна в полупериоде[a, b), а P-встречный дифференциал над ней、 Где P (b-0) тP ((x) b конечен, а P(+ oo)=т/ /dxdx)смежно на нем с обратным дифференциальным P / интервалом[a, b) функции и дифференцируемо во всех ее внутренних точках, P ’(x)= f(x) и x b.

Образно говоря, невозможно применить формулу Ньютона-Лейбница, вообще говоря, в этом интервале, если в определенной внутренней точке данного интервала функция становится бесконечностью. Людмила Фирмаль

• Равенство (33.11) понимается в том смысле, что 2 его части имеют смысл одновременно, и они равны, или они не имеют смысла одновременно, то есть в них нет никаких ограничений. Действительно, согласно Ньютону-Лейбницу, более интегрируемые функции, чем Если вы передадите это равенство пределу как r] -&, a m] b, вы получите формулу (33.11). Это выражение подчеркивает, что функция/была доказана в предположении, что она интегрируема в нормальном смысле во всех сегментах формы[a, r]), тm,&. в Интеграле формы (33.8) аналогичное выражение не всегда верно, если есть несколько членов справа.

Например При формальном применении формулы Ньютона к интегралу VЛейбница, она будет равна числу = −2.Но、 Мы уже знаем, что Интеграла этой задачи не существует. Поэтому в данном примере принципиально невозможно сразу применить формулу Ньютона-Лейбница ко всему интервалу интегрирования. Выражения типа (33.11), конечно, содержат неправильные интегралы вида (33.6).Если неправильный Интеграл определяется равенством (33.8), то формула Ньютона-Лейбница (если это возможно) должна быть применена индивидуально к терминам справа. 2°. (Некорректная линейность интегралов).B если это неуместно Интеграл§ / (x) 1x,$§(x) 6.Х сходится, то любой ряд I, (x, неправильный Интеграл^ [R /(x)+ p, g (x)] dx также сходится.

• В дальнейшем Аналогичным образом доказываются следующие характеристики неправильного интегрирования, а также соответствующие характеристики интеграла Римана. б 3°(Интеграл неравенства).Интеграл §§(x) DX сходится и все X∈[a, b) неравенства 4°(правило интеграции компонентов).Если функции u = = u (x) и o-o (x) непрерывны дифференцируемы на интервале[a, b、 Кроме того, если любое из 2 выражений§и do-это io и§odi、 (То есть соответствующий предел конечен), 3-й также имеет смысл. 5°(несобственный Интеграл заменой переменных).Предположим, что функция / непрерывна с[a, b), а функция cp (() непрерывна дифференцируема с полуинтервалом[a, P).ОО Р + Со, и =φ (а) СРСР ( / )&= Пт Е (1) а== з / п; тогда. Кроме того, интегралы обеих частей этого выражения сходятся или не сходятся одновременно.

Замена переменной может привести к тому, что неправильные интегралы будут нормальными. Например, выполнить ^ Y = ^ переменная x изменение неправильного интеграла= 3m ^、 0 ^ 1 s, получаем внутренний Интеграл Все неправильные интегралы/ / (x) относительно c1x Конечный интервал[a, b) это изменение переменной, которое сводится к неправильному интегралу на неограниченном интервале. Действительно, например, путем изменения переменной По аналогии с Интегралом Римана сходимости Интеграл от интеграла/ / (x) х и b, по определению, принимаются. Заметим, что не все свойства конкретного интеграла Римана переносятся на неверный integral.

Например, произведение 2 функций, которые могут быть интегрируемыми по Риману в одном интервале, также является функцией, которая может быть интегрируемой по Риману. Людмила Фирмаль

• Сходство этого утверждения с неправильным интегралом не всегда верно. Существует функция / и§, интегралы которой сходятся через определенные интервалы, а интегралы их произведений сходятся через те же интервалы Это будет филиал. В самом деле, допустим, например,^(Х)-§(Х) -^ 1=. Как вы знаете (раздел 33. 1), Интеграл^сходится и Интеграл ^ Я(х)е(х)ух = ^ дивергенции, о Повторяется, что всегда необходимо помнить, что при использовании подобия характеристик интеграла Римана при работе с неправильным интегралом необходимо проверить правильность неправильного интеграла в любом утверждении, которое аналогично соответствующему утверждению соответствующего интеграла. Образцы. Используйте эту формулировку для вычисления следующих некорректных интегралов.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой.	Несобственные интегралы от неотрицательных функций.
Определение несобственных интегралов.	Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.