Для связи в whatsapp +905441085890

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

Момент силы Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей относительно какой-либо точки Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей (рис. 81) может быть выражен (стр. 68) в виде векторного произведения

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

где Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей — радиус-вектор точки Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей приложения силы Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей относительно точки Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей.

Примем точку Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей за начало системы координат и отложим на координатных осях орты Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей и Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей. Вспоминая, что проекция момента силы относительно точки на любую ось, проходящую через эту точку, равна моменту данной силы относительно этой оси (стр. 108), и формулу (6) разложения вектора по осям координат, можно записать:

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

С другой стороны, из векторной алгебры известно, что векторное произведение Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей может быть записано в виде определителя третьего порядка

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

где Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей — координаты точки Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей приложения силы (см. рис. 81), Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей — проекции силы Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей на оси координат.

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

Раскладывая определитель третьего порядка по элементам его первой строки, будем иметь:

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

или, меняя на противоположный знак перед вторым членом правой части последнего равенства,

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

Сравнивая равенства (I) и (II), находим:

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

Для получения правильных значений моментов силы относительно координатных осей, при вычислении их по формулам (35), нужно подставлять в эти формулы проекции Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей силы на координатные оси и координаты Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей точки приложения силы с соответствующими знаками этих величин.

Формулы (35) нетрудно запомнить, если обратить внимание на их структуру. Момент силы относительно какой-либо координатной оси выражается определителем второго порядка, в первой строке которого стоят координаты точки приложения силы, во второй — проекции силы на оси, соответствующие тем же координатам. Координаты точки приложения силы записываются в порядке обхода осей координат против часовой стрелки. Если вычисляется момент силы относительно оси Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей, то в первой строке определителя записываются координаты Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей и Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей. Если относительно оси Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей, то записываются координаты Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей и Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей. Если относительно оси Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей, то записываются координаты Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей и Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей.

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

Пример задачи:

Вычислить моменты силы Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей относительно координатных осей Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей. Сила Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей направлена из точки Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей по диагонали боковой грани прямоугольного параллелепипеда (рис. 82), длины ребер которого Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осейФормулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей. Модуль силы

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

Решение:

Как видно из рис. 82, .точка Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей приложения силы определяется координатами:

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

Проекции силы на оси координат:

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

где

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

Воспользовавшись для вычисления моментов силы относительно осей координат формулами (35), будем иметь:

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

Подставляя числовые данные, получаем:

Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Угол и конус трения + пример с решением
Момент силы относительно оси + пример с решением
Вычисление главного вектора и главного момента произвольной пространственной системы сил
Частные случаи приведения пространственной системы к простейшему виду