Для связи в whatsapp +905441085890

Формулы прямоугольников

Попытаемся заменить криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников. Для этого выполним следующие действия (рис. 47.2).

Формулы прямоугольников

1. С помощью точек Формулы прямоугольников разобьём отрезок Формулы прямоугольников на Формулы прямоугольников равных частей. Тогда длина каждого отрезка будет равна Формулы прямоугольников. Её называют шагом разбиения и обозначают Формулы прямоугольников.

2. На каждом отрезке Формулы прямоугольников построим прямоугольники высотой Формулы прямоугольников Формулы прямоугольников.

3. Найдем площадь каждого прямоугольника как произведение его длины на ширину:

Формулы прямоугольников

Тогда сумма площадей всех прямоугольников Формулы прямоугольников будет равна Формулы прямоугольников

Формулы прямоугольников

Вынесем Формулы прямоугольников за скобки: Формулы прямоугольников.

Поскольку сумма площадей всех прямоугольников Формулы прямоугольников приближенно равна площади криволинейной трапеции, то можно считать, что

Формулы прямоугольников — формула прямоугольников.

Если в качестве высоты прямоугольников брать значения функции не в левом, а в правом конце отрезка (рис. 47.2), то формула прямоугольников будет иметь вид:

Формулы прямоугольников — формула прямоугольников.

Пример №47.1.

Вычислите определенный интеграл Формулы прямоугольников:

а) по формуле Ньютона-Лейбница;

б) по формулам прямоугольников (число точек деления Формулы прямоугольников).

Решение:

а) Формулы прямоугольников — точное значение Формулы прямоугольников.

б) Выпишем подынтегральную функцию Формулы прямоугольников и рассмотрим ее на отрезке Формулы прямоугольников Формулы прямоугольников. Поскольку число точек деления отрезка равно 4, найдем ширину каждого отрезка (шаг) по формуле Формулы прямоугольников.

Для удобства вычислений все расчеты будем выполнять в электронных таблицах Microsoft Excel. В качестве шапки таблицы можно предложить следующий вариант:

Формулы прямоугольников

В столбце Формулы прямоугольников будет указываться номер выполняемого шага: Формулы прямоугольников.

В столбце Формулы прямоугольников будут располагаться значения Формулы прямоугольников. Поскольку Формулы прямоугольников, то в ячейку Формулы прямоугольников занесем значение 0. Чтобы найти значение Формулы прямоугольников, которое будет находиться в ячейке Формулы прямоугольников, достаточно к началу промежутка Формулы прямоугольников прибавить ширину шага Формулы прямоугольников. В ячейке Формулы прямоугольников будет находиться число 0 + 0,5 = 0,5. Для нахождения каждого последующего значения Формулы прямоугольников к предыдущему необходимо прибавлять ширину шага до тех пор, пока Формулы прямоугольников не будет равно Формулы прямоугольников.

В столбце Формулы прямоугольников будут содержаться значения функции в точках Формулы прямоугольников, необходимые для расчета значения определенного интеграла по формулам (1) и (2). Чтобы их получить достаточно ввести формулу в ячейку Формулы прямоугольников. В нашем примере она будет иметь вид: Формулы прямоугольников. Для заполнения столбца оставшихся значений Формулы прямоугольников можно воспользоваться возможностями автозаполнения. Тогда таблица будет иметь вид:

Формулы прямоугольников

Рассчитаем приближенное значение определенного интеграла по формуле прямоугольников (1) в ячейке Формулы прямоугольников, по формуле прямоугольников (2) в ячейке Формулы прямоугольников. Множитель Формулы прямоугольников нами уже вычислен, он равен 0,5, поэтому формулы в ячейках Формулы прямоугольников и Формулы прямоугольников будут иметь вид:

Формулы прямоугольников (поскольку суммируются значения функции, начиная с Формулы прямоугольников и заканчивая Формулы прямоугольников;

Формулы прямоугольников (суммируются значения функции, начиная с Формулы прямоугольников заканчивая Формулы прямоугольников).

Результирующая таблица будет следующей:

Формулы прямоугольников

Видим, что полученные по формулам прямоугольников значения определённого интеграла (2,25 и 6,25) достаточно сильно отличаются от его реального значения (4). Очевидно, что с увеличением числа точек деления приближенное значение определенного интеграла будет ближе к реальному. Но все равно метод прямоугольников относится к числу наименее точных. Рассмотрим другие методы численного интегрирования.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Метод касательных.
Задача численного интегрирования.
Формула трапеций.
Формула парабол (Симпсона).