Для связи в whatsapp +905441085890

Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением

Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции

Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух чисел Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением и Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением из этого интервала из неравенства Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением следует неравенство Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением.

Если из неравенства Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением следует неравенство Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением, то функция называется неубывающей в этом интервале.

Функция Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух чисел Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением следует неравенство Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением.

Если из неравенства Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением следует неравенство Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением, то функция называется невозрастающей в этом интервале.

Функции возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие называются монотонными.

Следующая теорема выражает важный признак строгого возрастания и убывания функции и указывает правило для определения интервалов, в которых функция возрастает и убывает.

Теорема. Если во всех точках некоторого интервала первая производная Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением, то функция Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением в этом интервале возрастает. Если же во всех точках интервала первая производная Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением, то функция убывает в этом интервале.

Правило. Для определения интервалов строгого возрастания и строгого убывания функции следует решить неравенства: Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением и Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением. Если окажется, что эти точки не заполняют сплошь какого-либо частичного интервала, то неравенства эти укажут интервалы строгого возрастания и строгого убывания функции.

При решении задач, в которых требуется определить интервалы возрастания и убывания функции, следует, прежде всего, определить область существования этой функции.

Задача №64.

Найти интервал возрастания и убывания функции

Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением

Решение:

Функция существует для любых Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением, кроме Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением, т. е. областью существования функции являются интервалы Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением и Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением. Находим производную функции:

Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением

При Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением производная Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением, при Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением. В интервале Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением функция убывает, а в интервале Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением функция возрастает.

Говорят, что функция Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением имеет в точке Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением максимум, если значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех точках, достаточно близких к Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением. Иначе, функция Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением имеет максимум при Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением, если Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением для любых положительных и отрицательных значений Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением.

Говорят, что функция Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением имеет в точке Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением минимум, если значение функции в этой точке меньше, чем её значение во всех точках, достаточно близких к Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением. Иначе, функция Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением имеет минимум при Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением, если Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением для Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением.

Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум, а точка называется экстремальной.

Необходимое условие экстремума. Если функция Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением имеет экстремум при Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением, то ее производная в этой точке равна 0 или Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением, или вовсе не существует.

Точки экстремума функции следует разыскивать только среди тех, в которых её первая производная Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением или Функция одной переменной. Наименьшее и наибольшее значение функции задача с решением не существует. Эти точки называются критическими (если функция непрерывна). Это необходимое, но недостаточное условие существования экстремума.

Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:

Решение задач по высшей математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Производная высших порядков задача с решением
Правило Лопиталя задачи с решением
Первое достаточное условие существования экстремума функции
Второе достаточное условие существования экстремума