Геометрическая прогрессия с примерами решения

Геометрическая прогрессия

а) Геометрическая прогрессия — последовательность Геометрическая прогрессия с примерами решения, определяемая рекуррентной формулой

Геометрическая прогрессия с примерами решения

где Геометрическая прогрессия с примерами решения и Геометрическая прогрессия с примерами решения— заданные числа, отличные от нуля; число Геометрическая прогрессия с примерами решения называется знаменателем геометрической прогрессии.

б) Для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

Геометрическая прогрессия с примерами решения

в) Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению его соседних членов, т. е. при Геометрическая прогрессия с примерами решения справедливо равенство

Геометрическая прогрессия с примерами решения

Если Геометрическая прогрессия с примерами решения при всех Геометрическая прогрессия с примерами решения то

Геометрическая прогрессия с примерами решения

т. е. каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов.

г) Если рассматривается совокупность первых n членов геометрической прогрессии, т.е. числа Геометрическая прогрессия с примерами решения то произведение каждой пары членов, равноотстоящих от крайних членов этой совокупности, равно произведению крайних членов, т. е. при Геометрическая прогрессия с примерами решения справедливо равенство

Геометрическая прогрессия с примерами решения

д) Сумма Геометрическая прогрессия с примерами решения первых n членов геометрической прогрессии выражается формулой

Геометрическая прогрессия с примерами решения

Пример №27.

Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма ее первого и третьего членов равна 35, а сумма первых пяти членов в 49 раз больше суммы их обратных величин.

Решение:

По условиям задачи

Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решенияГеометрическая прогрессия с примерами решенияГеометрическая прогрессия с примерами решения

Так как Геометрическая прогрессия с примерами решения (иначе задача теряет смысл), то равенство (2), в котором правая часть равна Геометрическая прогрессия с примерами решенияможно записать в виде

Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения

Из (3) следует, что либо Геометрическая прогрессия с примерами решения либо Геометрическая прогрессия с примерами решения Если Геометрическая прогрессия с примерами решениято из (1) находим Геометрическая прогрессия с примерами решенияоткуда Геометрическая прогрессия с примерами решения ЕслиГеометрическая прогрессия с примерами решениято Геометрическая прогрессия с примерами решенияВ этом случае теряет смысл второе условие задачи.

Ответ.Геометрическая прогрессия с примерами решения

Пример №28.

Пусть Геометрическая прогрессия с примерами решения— сумма первых n членов геометрической прогрессии. Доказать, чтоГеометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения

Доказательство. Пусть Геометрическая прогрессия с примерами решенияk-й член, q — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда

Геометрическая прогрессия с примерами решения

откуда

Геометрическая прогрессия с примерами решения

или

Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения

Полагая в (2) сначала Геометрическая прогрессия с примерами решения а затем Геометрическая прогрессия с примерами решенияГеометрическая прогрессия с примерами решения получаем

Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения

Из равенств (3) следует равенство (1).

Пример №29.

Найти числа x,y,z,t, если они являются последовательными членами арифметической прогрессии, а числаГеометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решенияявляются последовательными членами геометрической прогрессии.

Решение:

Пусть Геометрическая прогрессия с примерами решения — первый член, Геометрическая прогрессия с примерами решения — разность арифметической прогрессии. Тогда Геометрическая прогрессия с примерами решенияГеометрическая прогрессия с примерами решенияГеометрическая прогрессия с примерами решения По свойству геометрической прогрессии Геометрическая прогрессия с примерами решенияГеометрическая прогрессия с примерами решения т.е.

Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения

Систему (1) можно преобразовать к следующему виду:

Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения

Вычитая из (2) уравнение (3), находим Геометрическая прогрессия с примерами решенияПодставляя Геометрическая прогрессия с примерами решения в уравнение (2), получаем Геометрическая прогрессия с примерами решения откуда Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения Если Геометрическая прогрессия с примерами решения то Геометрическая прогрессия с примерами решенияГеометрическая прогрессия с примерами решения а если Геометрическая прогрессия с примерами решения то Геометрическая прогрессия с примерами решенияГеометрическая прогрессия с примерами решения Значение Геометрическая прогрессия с примерами решения следует отбросить, так как числа Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения не образуют геометрическую прогрессию.

Ответ: Геометрическая прогрессия с примерами решения

Пример №30.

Найти числа х, у, z и t, если они обладают следующими свойствами:

числа х, у и z образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию;

числа у, z и t образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию;

Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения

Решение:

По свойствам прогрессий

Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения

Будем решать систему (1)-(4) методом исключения неизвестных. Из (1) и (4) следует, что

Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения

а из (2) находим

Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения

откуда получаем

Геометрическая прогрессия с примерами решения Геометрическая прогрессия с примерами решения

Подставляя выражения для х и z из (6) и (7) в уравнение (3), приходим к уравнению

Геометрическая прогрессия с примерами решения

Это уравнение можно записать в виде Геометрическая прогрессия с примерами решения откуда Геометрическая прогрессия с примерами решенияСоответствующие значения z, х и t найдем из уравнений (6), (7) и (1).

Ответ. Геометрическая прогрессия с примерами решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Логарифмы примеры с решением
Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения
Предел последовательности с примером решения
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения