Для связи в whatsapp +905441085890

Геометрический смысл дифференциала

Пусть Геометрический смысл дифференциала — дифференцируемая в точке Геометрический смысл дифференциала функция, график которой изображен на рис. 12.2. Отметим на графике точку Геометрический смысл дифференциала, абсцисса которой равна Геометрический смысл дифференциала. В точке Геометрический смысл дифференциала проведем касательную Геометрический смысл дифференциала к графику функции Геометрический смысл дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала

Дадим аргументу Геометрический смысл дифференциала приращение Геометрический смысл дифференциала . Из полученной точки восстановим перпендикуляр до пересечения с касательной (точка Геометрический смысл дифференциала) и с графиком функции Геометрический смысл дифференциала. Отметим на чертеже приращение аргумента Геометрический смысл дифференциала (совпадает с длиной отрезка Геометрический смысл дифференциала) и приращение функции Геометрический смысл дифференциала.

Покажем, что дифференциал Геометрический смысл дифференциала будет совпадать с длиной отрезка Геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим треугольник Геометрический смысл дифференциала — прямоугольный (по построению), Геометрический смысл дифференциала. В этом треугольнике Геометрический смысл дифференциала, a Геометрический смысл дифференциала. Выразим сторону Геометрический смысл дифференциала через Геометрический смысл дифференциала и угол Геометрический смысл дифференциала: Геометрический смысл дифференциала.

В силу геометрического смысла производной тангенс угла Геометрический смысл дифференциала, который образует касательная с положительным направлением оси Геометрический смысл дифференциала, равен значению производной функции Геометрический смысл дифференциала в точке Геометрический смысл дифференциала: Геометрический смысл дифференциала.

Поскольку Геометрический смысл дифференциала, то Геометрический смысл дифференциала, а Геометрический смысл дифференциала есть ни что иное, как дифференциал Геометрический смысл дифференциала. Получили, что Геометрический смысл дифференциала.

Сформулируем геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции Геометрический смысл дифференциала в точке Геометрический смысл дифференциала равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой
функции в точке Геометрический смысл дифференциала.

Мы рассмотрели геометрический смысл дифференциала вогнутой функции. Можно показать, что для выпуклой функции (рис. 12.3) геометрический смысл дифференциала останется таким же. Отличие будет лишь в том, что дифференциал Геометрический смысл дифференциала окажется больше приращения функции.

Геометрический смысл дифференциала

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Уравнение касательной к кривой.
Понятие дифференциала функции.
Понятие производной высших порядков
Понятие дифференциала высших порядков