Для связи в whatsapp +905441085890

Градиент и его свойства

Наибольший интерес представляет вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции Градиент и его свойства в точке Градиент и его свойства. Вопрос просто решается с помощью вектора -градиента функции Градиент и его свойства.

Градиентом функции Градиент и его свойства в данной точке Градиент и его свойства называется вектор, расположенный в плоскости Градиент и его свойства с началом в точке Градиент и его свойства

Градиент и его свойства

Основное свойство градиента: направление градиента функции в точке является направлением быстрейшего возрастания функции, его модуль равен наибольшей скорости возрастания Градиент и его свойства в заданной точке.

Другое свойство градиента: он перпендикулярен касательной линии уровня, проходящей через точку начала градиента.

Градиент и его свойства

Иллюстрация свойств градиента — на рисунке 8.2. Показаны линии уровня Градиент и его свойства, причем Градиент и его свойства.

Через точку Градиент и его свойства, лежащую на линии с уровнем Градиент и его свойства проведены касательная и градиент, которые перпендикулярны друг другу. Градиент направлен в сторону возрастания функции Градиент и его свойстваГрадиент и его свойства.

8.6 Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума

Точка Градиент и его свойства называется точкой максимума функции Градиент и его свойства, если значение функции в этой точке больше, чем её значение в любой другой точке некоторой (хотя бы малой) окрестности точки Градиент и его свойства. Аналогично (с заменой «больше» на «меньше») определяется точка минимума функции.

Точки минимума и максимума объединяются под общим названием точки экстремума.

Для функции двух переменных точка Градиент и его свойства имеет две координаты Градиент и его свойства для функции трёх переменных — три координаты Градиент и его свойства. При этом окрестностью точки Градиент и его свойстваГрадиент и его свойства является открытый шар с центром в этой точке.

Поиск критических точек, т.е. точек в которых может быть экстремум функции Градиент и его свойства, производится при помощи необходимого условия экстремума:

Градиент и его свойства

Решение системы (8.12) определяет координаты критических точек Градиент и его свойства

Однако необходимого условия мало для существования точек экстремума.

Нужно провести исследование критических точек с использованием достаточных условий экстремума.

Для функции двух переменных Градиент и его свойства введём обозначения для вторых частных производных в критической точке Градиент и его свойстваГрадиент и его свойства:

Градиент и его свойства

Достаточные условия приводим в таблице 4.

Таблица 4 — Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Градиент и его свойства

Пример:

Дана функция Градиент и его свойства и точка Градиент и его свойства. Найти градиент функции Градиент и его свойства в заданной точке Градиент и его свойства.

Решение:

Используем формулу градиента

Градиент и его свойства

Определяем частные производные и вычисляем их при Градиент и его свойства.

Градиент и его свойства

При вычислении частной производной по одной из переменных вторая переменная считается постоянной величиной.

Значения частных производных подставляем в формулу градиента:

Градиент и его свойства

Ответ: Градиент и его свойства.

Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:

Высшая математика для 1 курса

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Полное приращение и полный дифференциал
Производная по направлению
Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума
Основные определения о дифференциальных уравнениях