Для связи в whatsapp +905441085890

Графический подход (метод координат) при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Графический подход (метод координат)

Основное достоинство графического подхода к решению задачи — это, как уже отмечалось выше, его высокая наглядность, а естественное ограничение в применении этого метода состоит в сложности построения графиков входящих в уравнение или неравенство функций. Часто с помощью графического подхода оценивают количество решений в задаче. Найденные «на глазок» при помощи построения графиков решения подлежат обязательной проверке. Если графически решается уравнение или неравенство с одним неизвестным, то, как правило, в одной системе координат строятся графики функций, расположенных слева и справа от знака равенства (неравенства), и затем с помощью этих графиков ищется решение.

Пример №363.

Решить уравнение Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Решение:

Перепишем уравнение в виде Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения и решим его графическим способом.

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Построим в одной системе координат графики функций Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения и Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения , расположенных в левой и правой частях уравнения. На рисунке правые концы отрезков прямых линий на графике функции Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения считаются «выколотыми». Хорошо видно, что графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых удовлетворяют ограничениям: Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения. Один корень Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения находится сразу, а другие два пока что лишь локализованы, и требуется найти их точные значения. Чтобы найти корень Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, отметим, что на интервале — Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, которому принадлежит этот корень, целая часть Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения Подставляя это значение в уравнение, получим Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решенияоткуда легко теперь находим корень Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решенияАналогично на промежутке Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения которому принадлежит корень Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения Подставляя в уравнение, получаем Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения откуда определяем Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения Ответ: Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

В следующем примере не требуется вводить вспомогательную систему координат — она задана по условию задачи. Это так называемый тип задач «на построение ГМТ» (чаще практикуется на устных экзаменах по математике).

Пример №364.

Построить на плоскости Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решениягеометрическое место точекГрафический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения , при которых у уравнения

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

а) нет решений; б) ровно одно решение.

Решение:

а) Если Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, то уравнение квадратное, и соответственно оно не имеет решений тогда только тогда, когда его дискриминант Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения На плоскости Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения это неравенство задает открытый круг (граница — окружность — ему не принадлежит) с центром в точке Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения и радиусом 2. Если же Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения то уравнение становится линейным Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения и не имеет решений при Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения. На плоскостиГрафический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения это даёт точку Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения — начало координат. Объединяя открытый круг и точку, получим ГМТ (см. рис. а)).

б) При Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения квадратное уравнение имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения; это уравнение задаёт на плоскости Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения окружность с центром в точке Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения и радиусом 2. Учитывая условие Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, выкалываем на этой окружности точку Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения. Если же Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения , то линейное уравнение Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения имеет единственное решение при Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения. Это задаёт на плоскости вертикальную прямую, совпадающую с осью ординат. На этой прямой надо выколоть точку Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения.

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

В итоге получаем следующую фигуру, состоящую из объединения указанных окружности и прямой (с выколотой точкой начала координат). Задача решена.

Графический подход часто оказывается удобен и при решении уравнений (неравенств, систем) с двумя неизвестными Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, а также тогда, когда в задаче имеются неизвестная Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения и параметр Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения . В первом случае вводится система координат Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения с осями, на которых откладываются значения неизвестных Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения . Во втором случае также вводится вспомогательная система координат, но на осях уже откладываются значения неизвестной Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения и параметра Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения. В обоих случаях решение видно наглядно в виде некоторого геометрического места точек координатной плоскости.

Пример №365.

При каких значениях параметра Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения модуль разности корней уравнения Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения принимает наибольшее значение?

Решение:

Решим задачу с помощью метода координат. Вначале, выделяя полные квадраты как по Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, так и по Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения , перепишем уравнение в виде

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения
Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Введём систему координат, в которой на оси абсцисс будем откладывать значения переменной Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, а на оси ординат — значения параметра Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения . В такой системе координат уравнение задаёт окружность единичного радиуса с центром в точке Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения. По рисунку видно, что, какое бы значение Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения в пределах от 1 до 3 мы ни зафиксировали, уравнение имеет корни Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, расположенные на оси абсцисс. Очевидно, что расстояние между этими корнями максимально и равно диаметру окружности при Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения (соответствует центру окружности).

Пример №366.

При каком значении Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения система

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

имеет единственное решение?

Решение:

Приведём систему к виду

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

1 у < а — х,

и рассмотрим графическую интерпретацию неравенств системы на плоскости Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения . Первое неравенство задаёт на координатной плоскости замкнутый круг с центром в точке Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения и радиусом Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения. Второе, линейное, неравенство определяет полуплоскость, состоящую из точек плоскости, лежащих не выше прямой Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения (граница полуплоскости).

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Уравнение Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решениязадаёт семейство параллельных прямых, зависящих от параметра Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения . Система неравенств имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения касается прямой Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения так, как это изображено на рисунке. В этом случае система уравнений

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

должна иметь единственное решение. Подставляя в первое уравнение вместо Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения выражение Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, приходим к квадратному уравнению

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

которое также должно иметь единственное решение. Это выполняется лишь в случае, когда его дискриминант равен нулю:

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

При этом значение Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решенияне удовлетворяет условиям задачи (круг будет лежать в полуплоскости). Ответ: при Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения.

Пример №367.

При каких значениях Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения уравнение Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения имеет единственное решение?

Решение:

График функции в левой части уравнения

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

задаёт нижнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом 4 (сделайте чертёж самостоятельно), а график правой части Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения — семейство прямых, пересекающих ось ординат в точке Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения под углом Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения. Эти графики имеют ровно одну общую точку Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения прямая Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения либо касается снизу полуокружности (в этом случае её уравнение будет Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения (докажите), либо лежит между прямыми Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения и Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения(может совпадать с последней). Таким образом, Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения или Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

В следующем примере графический подход используется для нахождения области допустимых значений неизвестных.

Пример №368.

Найти все целочисленные пары Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, удовлетворяющие уравнению Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Решение:

Найдём ОДЗ уравнения: Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Данные три неравенства задают на координатной плоскости Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решениятреугольник, внутрь которого попадают только четыре точки с целочисленными координатами:Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Проверкой оставляем Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Пример №369.

Определить, под каким углом видно из начала координат (т.е. внутри какого угла с вершиной в точкеГрафический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения помещается) множество, заданное на координатной плоскости неравенством

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Решение:

Обозначим множество, заданное в условии неравенством, через Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения . Заметим, что прямая Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения не пересекает множество Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, так как неравенство Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения не выполняется ни при каких Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения .

Выясним, при каких Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решенияу прямой Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения есть общие точки с Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения , т.е. когда имеет решения система

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Подставляя вместо Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения выражение Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решенияв неравенство системы, получим

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Это квадратное неравенство имеет решения тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен:

Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Решением последнего неравенства является интервал Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения . При этом в Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения четверти координатной плоскости нет точек Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения , так как при Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения, Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения левая часть неравенства не может быть отрицательна. Следовательно, множествоГрафический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения расположено в Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решениячетверти, и угол, под которым это множество видно из начала координат, равен Графический подход метод координат при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Метод неопределённых коэффициентов при решении уравнений и неравенств с примерами решения
Метод «от частного к общему» при решении уравнений и неравенств с примерами решения
Умножение на функцию при решении уравнений и неравенств с примерами решения
Уравнения вида f(x)=g(x) где f(x)≤A, a g(x)≥A и другие задачи этого типа. Метод оценок