Для связи в whatsapp +905441085890

Интеграл от разрывной функции

Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция Интеграл от разрывной функции непрерывна на промежутке Интеграл от разрывной функции и имеет бесконечный разрыв при Интеграл от разрывной функции. Если существует конечный предел Интеграл от разрывной функции, то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают Интеграл от разрывной функции.

Таким образом, по определению,

Интеграл от разрывной функции

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл Интеграл от разрывной функции сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл Интеграл от разрывной функции расходится.

Интеграл от разрывной функции

Аналогично, если функция Интеграл от разрывной функции терпит бесконечный разрыв в точке Интеграл от разрывной функции, то полагают

Интеграл от разрывной функции

Если функция Интеграл от разрывной функции терпит разрыв во внутренней точке с отрезка Интеграл от разрывной функции, то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

Интеграл от разрывной функции

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

В случае, когда Интеграл от разрывной функции, несобственный интеграл второго рода Интеграл от разрывной функции (разрыв в точке Интеграл от разрывной функции) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 172).

Пример №40.4.

Вычислить Интеграл от разрывной функции.

Решение:

При Интеграл от разрывной функции функция Интеграл от разрывной функции терпит бесконечный разрыв;

Интеграл от разрывной функции

интеграл расходится.

Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второй) рода.

Теорема 40.3. Пусть на промежутке Интеграл от разрывной функции функции Интеграл от разрывной функции и Интеграл от разрывной функции непрерывны, при Интеграл от разрывной функции терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию Интеграл от разрывной функцииИнтеграл от разрывной функции сходимости интеграла Интеграл от разрывной функции вытекает сходимость интеграла Интеграл от разрывной функции, а из расходимости интеграла Интеграл от разрывной функции вытекает расходимость интеграла Интеграл от разрывной функции.

Теорема 40.4. Пусть функции Интеграл от разрывной функции и Интеграл от разрывной функции непрерывны на промежутке Интеграл от разрывной функции и в точке Интеграл от разрывной функции терпят разрыв. Если существует предел Интеграл от разрывной функции, то интегралы Интеграл от разрывной функции и Интеграл от разрывной функции одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Дополнительный Пример №40.5.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Вычисления определенного интеграла
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
Схемы применения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур