Оглавление:
Интегрирование иррациональных функций
Обозначим через функцию переменных которая построена с использованием только четырех арифметических действий . Интегралы вида сводятся к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки
Пример:
Найти неопределенный интеграл от иррациональной функции
► Рационализируем подынтегральную функцию подстановкой :
Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Интегралы вида
рациональная функция тригонометрических аргументов, сводятся к интегралу от рациональной функции с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки
Выражая и через , получим:
Заметим, что универсальная подстановка часто приводит к слишком сложным рациональным дробям. Поэтому полезно выделить несколько частных случаев, допускающих использование более простых тригонометрических подстановок:
а) если — функция, нечетная относительно : , то в качестве подстановки следует использовать ;
б) если — функция, нечетная относительно : , то в качестве подстановки следует использовать ;
в) если — функция, четная относительно и , то в качестве подстановки следует использовать .
Интегралы вида
где — целые неотрицательные числа, сводятся к интегралу от рациональной функции с помощью следующих тригонометрических подстановок:
а) если — нечетное, то в качестве подстановки следует использовать ;
б) если — нечетное, то в качестве подстановки следует использовать ;
в) если — четные, то следует использовать следующие тригонометрические формулы для понижения степени:
- Интегралы вида приводятся к интегралу от рациональной функции с помощью замены:
- Интегралы от произведения тригонометрических функций различных аргументов приводятся к интегралу от алгебраической суммы соответствующих функций с применением следующих формул:
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Интегрирование некоторых классов функций в математике |
Интегрирование рациональных дробей в математике |
Понятие определенного интеграла в математике |
Понятие о несобственных интегралах в математике |