Для связи в whatsapp +905441085890

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

где Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида и Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — некоторые числа.

Согласно теореме 51.1, общее решение уравнения (51.10) представляет собой сумму общего решения Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида соответствующего однородного уравнения и частного решения Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (51.10) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (п. 51.2).

Для уравнений с постоянными коэффициентами (51.10) существует более простой способ нахождения Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, если правая часть Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида уравнения (51.10) имеет так называемый «специальный вид»:

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

или

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида уравнения (51.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (51.10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Случай 1. Правая часть (51.10) имеет вид Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, где Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — многочлен степени Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Уравнение (51.10) запишется в виде

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

В этом случае частное решение Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида ищем в виде:

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

где Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — число, равное кратности Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида как корня характеристического уравнения Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (т.е. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — число, показывающее, сколько раз Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида является корнем уравнения Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида), a Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — многочлен степени Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, записанный с неопределенными коэффициентами Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

а) Пусть Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида не является корнем характеристического уравнения

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

т. е. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Следовательно,

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

После подстановки функции Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида и ее производных в уравнение (51.11), сокращения на Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, получим:

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Слева — многочлен степени Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида с неопределенными коэффициентами, справа — многочлен степени Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, получим систему Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида алгебраических уравнений для определения коэффициентов Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

б) Пусть Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида является однократным (простым) корнем характеристического уравнения Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, т. е. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

В этом случае искать решение в форме Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида нельзя, т. к. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, и уравнение (51.13) принимает вид

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

В левой части — многочлен степени Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, в правой части — многочлен степени Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Чтобы получить тождество многочленов в решении Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, нужно иметь многочлен степени Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Поэтому частное решение Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида следует искать в виде Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (в равенстве (51.12) положить Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида).

в) Пусть Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида является двукратным корнем характеристического уравнения Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, т. е. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. В этом случае Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида и Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, а поэтому уравнение (51.13) принимает вид Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Слева стоит многочлен степени Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, частное решение Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида следует искать в виде

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

(в равенстве (51.12) положить Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида).

Случай 2. Правая часть (51.10) имеет вид

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

где Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида и Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — многочлены степени Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида и Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида соответственно, Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида и Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — действительные числа. Уравнение (51.10) запишется в виде

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Можно показать, что в этом случае частное решение Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида уравнения (51.14) следует искать в виде

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

где Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — число, равное кратности Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида как корня характеристического уравнения Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида и Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — многочлены степени Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида с неопределенными коэффициентами, Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — наивысшая степень многочленов Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида и Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, т. е. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Замечания.

  1. После подстановки функции (51.15) в (51.14) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.
  2. Форма (51.15) сохраняется и в случаях, когда Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида или Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
  3. Если правая часть уравнения (51.10) есть.сумма функций вида I или II, то для нахождения Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида следует использовать теорему 51.2 о наложении решений.

Пример №51.2.

Найти общее решение уравнения Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Решение:

Найдем общее решение Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида ЛОДУ Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Характеристическое уравнение Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида имеет корень Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида кратности 2. Значит, Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида есть формула вида Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, причем Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, не является корнем характеристического уравнения: Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Поэтому, согласно формуле (51.12), частное решение Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида ищем в виде Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, т. е. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, где Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида и Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — неопределенные коэффициенты. Тогда Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Подставив Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида в исходное уравнение, получим Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, или Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, получаем систему уравнений:

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Отсюда Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Следовательно, Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида — искомое общее решение уравнения.

Дополнительный пример №51.3.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Необходимость (уравнения в полных дифференциалах)
Достаточность (уравнения в полных дифференциалах)
Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (n>2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами