Оглавление:
Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение
где и — некоторые числа.
Согласно теореме 51.1, общее решение уравнения (51.10) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (51.10) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (п. 51.2).
Для уравнений с постоянными коэффициентами (51.10) существует более простой способ нахождения , если правая часть уравнения (51.10) имеет так называемый «специальный вид»:
или
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части уравнения (51.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (51.10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.
Случай 1. Правая часть (51.10) имеет вид , где — многочлен степени . Уравнение (51.10) запишется в виде
В этом случае частное решение ищем в виде:
где — число, равное кратности как корня характеристического уравнения (т.е. — число, показывающее, сколько раз является корнем уравнения ), a — многочлен степени , записанный с неопределенными коэффициентами .
а) Пусть не является корнем характеристического уравнения
т. е. . Следовательно,
После подстановки функции и ее производных в уравнение (51.11), сокращения на , получим:
Слева — многочлен степени с неопределенными коэффициентами, справа — многочлен степени , но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов .
б) Пусть является однократным (простым) корнем характеристического уравнения , т. е. .
В этом случае искать решение в форме нельзя, т. к. , и уравнение (51.13) принимает вид
В левой части — многочлен степени , в правой части — многочлен степени . Чтобы получить тождество многочленов в решении , нужно иметь многочлен степени . Поэтому частное решение следует искать в виде (в равенстве (51.12) положить ).
в) Пусть является двукратным корнем характеристического уравнения , т. е. . В этом случае и , а поэтому уравнение (51.13) принимает вид .
Слева стоит многочлен степени . Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени , частное решение следует искать в виде
(в равенстве (51.12) положить ).
Случай 2. Правая часть (51.10) имеет вид
где и — многочлены степени и соответственно, и — действительные числа. Уравнение (51.10) запишется в виде
Можно показать, что в этом случае частное решение уравнения (51.14) следует искать в виде
где — число, равное кратности как корня характеристического уравнения , и — многочлены степени с неопределенными коэффициентами, — наивысшая степень многочленов и , т. е. .
Замечания.
- После подстановки функции (51.15) в (51.14) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.
- Форма (51.15) сохраняется и в случаях, когда или .
- Если правая часть уравнения (51.10) есть.сумма функций вида I или II, то для нахождения следует использовать теорему 51.2 о наложении решений.
Пример №51.2.
Найти общее решение уравнения .
Решение:
Найдем общее решение ЛОДУ . Характеристическое уравнение имеет корень кратности 2. Значит, . Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида , причем , не является корнем характеристического уравнения: . Поэтому, согласно формуле (51.12), частное решение ищем в виде , т. е. , где и — неопределенные коэффициенты. Тогда . Подставив , , в исходное уравнение, получим , или . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений:
Отсюда . Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид . Следовательно, — искомое общее решение уравнения.
Дополнительный пример №51.3.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны: