Оглавление:
Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородны дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
где 
и 
постоянны.
Для нахождения общего решения уравнения (50.1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. теорему 49.5).
Будем искать частные решения уравнения (50.1) в виде
где 
— некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для 
и 
в уравнение (50.1), получим: 
, т. е.
Уравнение (50.2) называется характеристическим уравнением ДУ (50.1) (для его составления достаточно в уравнении (50.1) изменить 
и 
соответственно на
и 1).
При решении характеристического уравнения (50.2) возможны следующие три случая.
Случай 1. Корни 
и 
уравнения (50.2) действительные и различные: 
.
В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являются функции 
и 
. Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т. к. их вронскиан
Следовательно, общее решение уравнения (50.1), согласно формуле
(49.16), имеет вид
Пример №50.1.
Решить уравнение 
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение: 
. Решаем его: 
. Записываем общее решение данного уравнения: 
, где 
и 
— произвольные постоянные (формула (50.3)).
Случай 2. Корни и характеристического уравнения (50.2) действительные и равные: 
.
В этом случае имеем .лишь одно частное решение 
.
Покажем, что наряду с 
решением уравнения (50.1) будет и 
.
Действительно, подставим функцию 
в уравнение (50.1). Имеем:
Ho 
, т. к. есть корень уравнения (50.2); 
, т. к. по условию 
.
Поэтому 
, т. е. функция 
является решением уравнения (50.1).
Частные решения и образуют фундаментальную систему решений: 
. Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (50.1) имеет вид
Случай 3. Корни и уравнения (50.2) комплексные: 
,
В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являются функции 
и 
по формулам Эйлера (см. п. 27)
имеем
Найдем два действительных частных решения уравнения (50.1). Для этого составим две линейные комбинации решений и :
Функции 
и 
являются решениями уравнения (50.1), что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка (см. теорему 49.2).Эти решения и образуют фундаментальную систему решений, так как 
(убедитесь самостоятельно!). Поэтому общее решение уравнения (50.1) запишется в виде 
, или
Дополнительный пример №50.2.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
