Оглавление:
Интегрирование нормальных систем
Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка. (Обратная задача — переход от ДУ к системе — рассмотрена выше на примере.) Техника этого метода основана на следующих соображениях.
Пусть задана нормальная система (52.1). Продифференцируем по 
любое, например первое, уравнение:
Подставив в это равенство значения производных 
из системы (52.1), получим
или, коротко,
Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значения производных 
из системы (52.1), получим
Продолжая этот процесс (дифференцируем — подставляем — получаем), находим:
Соберем полученные уравнения в систему:
Из первых 
уравнений системы (52.3) выразим функции 
через , функцию 
и ее производные 
. Получим
Найденные значения подставим в последнее уравнение системы (52.3). Получим одно ДУ 
-го порядка относительно искомой функции : 
. Пусть его общее решение есть
Продифференцировав его раз и подставив значения производных 
в уравнения системы (52.4), найдем функции :
Пример №52.1.
Решить систему уравнений
Решение:
Продифференцируем первое уравнение: 
. Подставляем 
в полученное равенство: 
, 
. Составляем систему уравнений:
Из первого уравнения системы выражаем 
через 
и 
:
Подставляем значение во второе уравнение последней системы:
т. е. 
. Получили одно ЛОДУ второго порядка. Решаем его: 
и 
— общее решение уравнения. Находим функцию . Значения и 
подставляем в выражение через и (формула (52.5)). Получим:
Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид 
.
Замечание. Систему уравнений (52.1) можно решать методом интегрируемых комбинаций. Суть метода состоит в том, что посредством арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.
Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Структура общего решения ЛНДУ второго порядка |
| Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ |
| Ряд геометрической прогрессии |
| Необходимый признак сходимости числового ряда |
